Estructura de grupo en la punta homotopy clases [X,S^1]

Question

Deje $[X,S^1]$ denota el conjunto de punta homotopy clases de mapas de $f:X\to S^1$. Necesito mostrar que, cuando se $S^1$ es visto como un subconjunto de a $\mathbb{C}$, complejo multiplicación induce una estructura de grupo en $[X,S^1]$ de manera tal que el bijection $T:[X,S^1] \to H^1(X;\mathbb{Z})$ es un isomorfismo. Este bijection es dado como Teorema de 4.57 en Hatcher Topología Algebraica; es decir, dado $f:X\to S^1$, el bijection está dado por $T([f]) = f^*(\alpha)$ donde $\alpha$ es un generador de $H^1(S^1;\mathbb{Z})$.

Sé que $[S^1,S^1]$ es lo mismo que $\pi_1(S^1)$, que ya tiene una estructura de grupo; por otra parte, si $X$ $S^1$ la operación de los complejos de la multiplicación es el mismo que el de $\pi_1(S^1)$. El resultado se mantiene para $X = S^1$, pero no puedo averiguar cómo generalizar.

Desde $S^1$$K(\mathbb{Z},1)$, he considerado el uso de la adjoint relación para demostrar que $[X,S^1] = [\sum X, K(\mathbb{Z},2)]$, pero no puedo averiguar a dónde ir desde aquí. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

En general, $[X, K(G, n)]$ es un grupo siempre $G$ es abelian. Esto viene de la homotopy conmutativa, homotopy asociativa $H$-estructura de espacio en $K(G, n)$ a que inversos modulo homotopy.

Esta estructura puede ser fácilmente visto venir desde el mapa $$K(G \times G, n) \simeq K(G, n) \times K(G, n) \to K(G, n)$$ induced from the group addition map $G \times G \G$. This is homotopy associative and homotopy commutative since the group addition on $G$ is associative and commutative. The inverse map is the $K(-, n)$-level map induced from the map $G\G$ defined by $x \mapsto x^{-1}$.

El grupo, además de en $[X, K(G, n)]$ se define tomando representantes de $f, g : X \to K(G, n)$ de los dos elegidos homotopy clase $[f], [g]$, y la definición de la multiplicación mapa $$f * g : X \to K(G, n) \times K(G, n) \to K(G, n)$$ where the first factor $X \K(G, n) \times K(G, n)$ in the composition is defined by $x \mapsto (f(x), g(x))$. The addition is then $[X, K(G, n)] \times [X, K(G, n)] \[X, K(G, n)]$ given by $([f], [g]) \mapsto [f*g]$. Usted puede comprobar fácilmente que esta en el hecho de que satisface los axiomas de grupo, además de.

En particular, la restricción para el caso de $G = \Bbb Z$$n = 1$, tiene una estructura de grupo en $[X, S^1]$.

(Como nota al margen, $[X, K(G, n)]$ es también en bijective correspondencia con $H^n(X;G)$, y en el hecho de que usted consigue un isomorfismo de grupos de al $[X, K(G, n)]$ es dada la estructura de un grupo, como se define arriba. La idea de la prueba es demostrar que el $[X, K(G, n)]$ es una reducción de la cohomology de la teoría de la satisfacción de la dimensión axioma. A continuación, por la clasificación de la reducción de la cohomology teoría, el isomorfismo de functors $[-, K(G, n)]\cong H^n(-;G)$ sigue)