Número de elementos de un campo finito

Question

Posibles Duplicados:
Orden de campos finitos es $p^n$

Si $F$ es un campo finito, entonces el número de elementos de a $F$ es de la forma $p^n$ algunos $n\in\mathbb N$.

Sé que la característica de $F$ es un número primo $p$ pero no sé cómo mostrar el número de elementos de a $F$ es de la forma $p^n$. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Ok, así que el hecho de que el campo $F$ es finito dice mucho. La primera característica tiene que ser $p$ para algunos de los mejores desde los campos de la característica $0$ son infinitas. En segundo lugar, por el hecho de, $F$ debe ser finitely generado como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Así que vamos a dar a $F$ base $x_1, ..., x_n$. Entonces los elementos de a $F$ todo puede escribirse de forma única como $\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n$$\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. También cada combinación lineal da un elemento de $F$.

Cuántas opciones hay para los alfas? Bueno, hay $p$ opciones para cada alpha así que tenemos que $|F| = p^n$.

Answer 2

Dado que la característica de $F$ es $p$, $F$ contendrá un subcampo $K$(decir) isomorfo al campo $(Z_{p},+_{p},._{p})$ ($\because$ Si la característica de un campo de $F$ primer $p$, $F$ contiene un subcuerpo isomorfo a $(Z_{p},+_{p},._{p})$.) $\therefore$ El campo $F$ contendrá $p$ elementos. Ahora el campo de $F$ puede ser considerado como una extensión del campo de $K$. es decir, $F$ es un espacio lineal sobre el campo $K$. Como $F$ es un campo finito, su dimensión también finito. Si la dimensión de $F$$n$, entonces se tiene una base $\{x_{1},x_{2},....,x_{n}\}$ conataining $n$ elementos. Ahora sabemos que si $B=\{x_{1},x_{2},....,x_{n}\}$ es la base de una $n$ dimensiones del espacio lineal $(V,+,.,F)$, entonces cada vector de $V$ tiene una representación única como combinación lineal de los vectores $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

$\therefore$ por cada $x\in F$ tiene una representación única $$x=\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+...\alpha_{n}x_{n}, \alpha_{i}\in K (i=1,..n)$$ $\alpha_{i}\in K$ implica que tenemos $p$ opciones para cada una de las $\alpha_{1},\alpha_{2},....,\alpha_{n}$. Así, el total de las posibles opciones para el $x$ $p^{n}$ y estas opciones le dará todo el campo $F$, es decir, el número de elementos en $F$$p^{n}$. Nota: a partir De este resultado también se puede derivar la siguiente importante resultado. Si un campo finito $F$ contiene $p^{n}$ elementos, entonces cada elemento de a $F$ satisface la ecuación de $x^{p^{n}}-x=0.$

Answer 3

Si la característica de $F$$p$, se puede ver $F$ $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ espacio vectorial. Mientras que $F$ es finito, el cardenal de $F$ es una potencia de $p$.

Answer 4

Deje $p$ ser la característica del campo $F$, que es el aditivo orden de la identidad multiplicativa $1$. Si $q$ es el primer y divide el orden de $F$, entonces no es un elemento $x$ orden $q$$(F, +)$. Por lo tanto $qx = 0$$(q1)x = 0$, lo que implica $q1 = 0$. Por lo tanto $q$ divide el aditivo orden de $1$, lo que significa que $p = q$ desde $p$ es primo.

Answer 5

He aquí dos sugerencias:

1) es suffiecient para mostrar que la característica es una de las principales.

2) Si el carácter no es un número primo, entonces existe un elemento distinto de cero, que no es invertible.