Como el título indica. ¿Hay una predicción de la mecánica cuántica que pueda interpretarse como la representación de una "relación de incertidumbre de tiempo de la energía"? ¿Existe alguna referencia a tal predicción, o sea obviamente falsa en algún nivel?
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Hay una 1961 papel por Aharonov y Bohm sobre este tema, en el que no se define, entre otras cosas, una característica de tiempo para que un operador de la expectativa de valor de desviarse significativamente, medido por la dispersión inicial en que el operador. Este resultado es esencialmente un teorema vamos a demostrar (Teorema 2).
Deje $\mathcal{S}$ ser un espacio de Hilbert, $A$ a (limitado) Hermitian operador en $\mathcal{S}$, e $\psi$ un vector unitario en $\mathcal{S}$. Por la dispersión de $A$ $($en relación a la del estado $\psi$$)$ nos referimos al número de$$\Delta_\psi A = \left( \left\langle \psi\,\left|\,A^2\,\right|\,\psi \right\rangle - \left\langle \psi\,\left|\,A\,\right|\,\psi\right\rangle^2 \right)^{{1\over2}} = \left( \left\langle \psi\,\left|\,\left(A - \langle \psi\,|\,A\,|\,\psi\rangle I\right)^2\,\right|\,\psi \right\rangle \right)^{{1\over2}}.$$So, for example, the dispersion is nonnegative, and vanishes if and only if $\psi$ is an eigenvector of $$.
Desde $\Delta A$ es sólo un número y no una Hermitian operador en el espacio de Hilbert – no podemos hacer una observación a través de $\Delta A$. Pero podemos hacer la siguiente mejor cosa. Introducir dos conjuntos de copias de sistema de $\mathcal{S}$, cada copia en estado inicial $\psi$. Permitir que un instrumento para observar en la sucesión de los sistemas en el primer conjunto, a través de $A$; y un segundo instrumento para el segundo conjunto, a través de $A^2$. Por último, introducir un tercer instrumento que se observa los primeros dos instrumentos a través de un operador adecuado para "calcular $\Delta A$. En este sentido, a continuación, el número de $\Delta A$ tiene significado físico directo.
Teorema 1. Deje $A$ $B$ $($delimitada$)$ Hermitian operadores en el espacio de Hilbert $\mathcal{S}$, e $\psi$ un vector unitario. A continuación, $$\Delta_\psi A \Delta_\psi B \ge {1\over2}\left|\langle \psi\,\left|\,[A, B]\,\right|\,\psi\rangle\right|.$$
Prueba. Este es el estándar de la incertidumbre de las relaciones de noncommuting observables en la mecánica cuántica.
$\tag*{$\square$}$
Pero lo de la "energía-tiempo de incertidumbre relación?"
Teorema 2. Deje $H$ $($delimitada$)$ Hermitian operador en el espacio de Hilbert $\mathcal{S}$, e $\psi$ un vector unitario. Set $P = I - |\psi\rangle\langle\psi|$, el operador de proyección ortogonal de a $\psi$, e $\psi_t = e^{{{-i}\over{\hbar}} Ht\psi}$. A continuación, para cada número$\Delta t \ge 0$,$$\Delta_\psi H \Delta t \ge \hbar \left|\langle \psi_{\Delta t}\, |\, P \,|\, \psi_{\Delta t}\rangle\right|^{{1\over2}}.$$
Prueba. Establecer, para cada $t \ge 0$, $\alpha(t) = \langle \psi_t \,|\,P\,|\,\psi_t\rangle$. Entonces tenemos $$\left|{{d\alpha}\over{dt}}\right| = \left|\left\langle \psi_t\, \left|\, {i\over\hbar} [H, P]\,\right|\, \psi_t\right\rangle\right| = {2\over\hbar} \Delta_{\psi_t} H \Delta_{\psi_t} P,$$where we used Theorem 1 in the second step. but $\Delta_{\psi_t}H = \Delta_\psi H$, and $$\Delta_{\psi_t} P = \left( \left\langle \psi_t\,\left|\,P^2\,\right|\,\psi_t \right\rangle - \left\langle \psi_t\,\left|\,P\,\right|\,\psi_t\right\rangle^2 \right)^{{1\over2}} = \left(\alpha - \alpha^2\right)^{1\over2} \le \alpha^{1\over2}.$$Substituting, we obtain $$\left|{{d\alpha}\over{dt}}\right| \le \left({2\over\hbar}\right) \left(\Delta_\psi H\right) \alpha^{1\over2}.$$Dividing this inequality by $\alpha^{1\over2}$, integrating from $t = 0$ to $t = \Delta t$, and using that $\alpha(0) = 0$, el resultado de la siguiente manera.
$\tag*{$\square$}$
Para aplicar este teorema de los problemas físicos, elegimos para $H$, por supuesto, el Hamiltoniano del sistema. A continuación, $\psi_t$ es la solución de Schrödinger, ecuación inicial ( $(t = 0)$ $\psi$ . Además, $\Delta_{\psi} H$ es la dispersión de la energía en relación a este estado inicial. Podemos interpretar $\left|\left\langle \psi_t\,\left|\,P\,\right|\,\psi_t\right\rangle\right|^{1\over2} = \|P\psi_t\|$ como una medida de cuánto el estado $\psi_t$ difiere de la del estado inicial $\psi$. Por lo tanto, esta expresión se desvanece para $t = 0$ $($cuando $\psi_t = \psi$$)$, y crece a partir de cero sólo como $\psi_t$ adquiere un componente ortogonal de a $\psi$. Así, el teorema de los estados, más o menos el siguiente: "con el fin De obtener un estado de evolución $(\psi_{\Delta t})$ sensiblemente diferente desde el estado inicial $(\psi)$, usted debe esperar un tiempo suficientemente largo $(\Delta t)$, y tienen la suficiente dispersión en el estado inicial $(\Delta_\psi H)$ que el producto de estos dos es mayor que el orden de $\hbar$." Por supuesto, el teorema, con estas elecciones, hace una predicción comprobable de la mecánica cuántica, el uso adecuado de los conjuntos, como se describe anteriormente.
Uno no puede, en el tiempo $\Delta t$, medir la energía de un sistema dentro de error $\Delta E$ si $\Delta E\Delta t \ge \hbar$.
No sé lo que significa esta declaración, por no sé qué tipo de experimento que se está considerando. La parte "...medir la energía de un sistema dentro de error..." sugiere la idea de que los sistemas cuánticos tener un poco de "real de la energía." Pero, de acuerdo a la mecánica cuántica, no. Lo que "tiene" es un rayo en su espacio de Hilbert de los estados, mientras que la energía es un operador en este espacio de Hilbert. (Tal vez esta idea es un vestigio de la mecánica clásica, en la que los sistemas de "tener una energía," porque la energía es una función en el espacio de la clásica unidos). Además, incluso si pensamos en sistemas cuánticos como tener la verdadera energía, no está claro cómo se supone que vamos a adquirir la información como para el contraste entre esta verdadera energía y nuestro valor medido.
En un conjunto de sistemas, todos en estado inicial $\psi$, que haya hecho una determinación, llevado a cabo en el tiempo $\Delta t$, de la dispersión de la Hamiltoniana, $\Delta_\psi H$. Entonces $\Delta_\psi H \Delta t \ge \hbar$. $($Ver anteriores.$)$
Este es concebido como una aclaró versión de la primera instrucción. Ahora, se dice, el experimento es más o menos claro. Pero, por desgracia, esta afirmación es falsa. Fijo $\psi$$H$, no veo ningún obstáculo para hacer esta determinación en una arbitrariamente pequeño tiempo de $\Delta t$. Nos limitamos a su vez la interacción de encendido y luego se apaga rápidamente.
Considere un conjunto de sistemas, todos en estado inicial $\psi$, y un conjunto de instrumentos, cada uno de los cuales realizará una observación en un sistema correspondiente a través de la Hamiltoniana $H$, en el tiempo $\Delta t$. Introducir observable $E$ sobre el instrumento de Hilbert el espacio correspondiente a "la lectura del instrumento." Determinar la dispersión de $E$, $\Delta E$. A continuación,$\Delta E \Delta t \ge \hbar$.
Este es concebido como una posible segunda versión de la primera instrucción. Es tal vez más en el espíritu de la declaración que, por ahora podemos determinar la dispersión de la "energía de las lecturas de los instrumentos," y no de la del sistema de energía. Pero esta afirmación también es falsa en la mecánica cuántica.
Una medida de la energía de un sistema, en el tiempo $\Delta t$, alterará la energía de ese sistema por al menos el importe $\Delta E$ donde $\Delta E \Delta t \ge \hbar$.
No sé lo que esto significa, porque no sé lo que experimento es contemplado. De nuevo, la parte de "...molestar a la energía de ese sistema..." sugiere que los sistemas de la mecánica cuántica "tener un verdadero energía". Pero incluso si lo hicieran, no está claro cómo se supone que vamos a adquirir el conocimiento de por lo mucho que la energía estaba perturbado.
En un conjunto de sistemas, todos en estado inicial $\psi$, que no se hizo una observación a través de los Hamiltonianos de cada sistema, en el tiempo $\Delta t$. Posterior a esto, que no se realizará en este conjunto una determinación de la dispersión en el Hamiltoniano, $\Delta H$. $($Ver anteriores.$)$ A continuación,$\Delta H \Delta t \ge \hbar$.
Este es concebido como una aclaró versión de la declaración anterior. Ahora, hacemos una energía de observación en cada sistema, en el conjunto, y luego, para el conjunto como un todo, podemos determinar su Hamiltonianos-dispersión. La idea es que este "posterior de Hamilton-dispersión" va a ser al menos tan grande, por virtud de la observación anterior, a través de la Hamiltoniana, en el tiempo $\Delta t$. Pero esta última afirmación es falsa. Por ejemplo, supongamos que el estado inicial $\psi$ eran de un Hamiltoniano eigenstate. A continuación, el resultado de la primera observación dejaría a cada sistema en que eigenstate; de ahí la determinación de $\Delta H$ daría cero. Claramente, entonces, que en este caso violar la afirmación anterior.
No sé si hay alguna de las declaraciones que son a la vez significativo y verdadero, a lo largo de las líneas anteriores. Pero no parece ser, al menos, una declaración de que no parecen reflejar "la energía-tiempo de incertidumbre", es decir, el Teorema 2.
Otro trabajo relevante es el de Sorkin $($Fundamentos de la Física, 9, 123 $($1979$)$$)$. Si bien es cierto que uno puede transformada de Fourier de la función de onda, y por lo tanto obtener una "incertidumbre " relación" entre el $\Delta t$ y $\Delta \omega$ $($frecuencia$)$, no está claro lo que significa físicamente. Podía ver a alguien citando el viejo Einstein-Bohr argumento, y, en particular, el ejemplo de la caja colgada de un resorte, emitiendo un fotón bajo el control de un obturador, pero nunca he entendido realmente lo que el debate era sobre.
Sean
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2187
Ok, por lo que la Energía-Tiempo "Principio de Incertidumbre" es a menudo la manera falsa, pero sí significa algo.
En $\Delta t \Delta E \geq \frac{\hbar}{2}$ $\Delta t$ representa la cantidad de tiempo que se toma para la energía expectativa de valor a cambio de una desviación estándar. Sí no representan una medición.
Nota: Esto se explica en Griffith, "Mecánica Cuántica" de texto. Yo también sólo se veía en mis notas sobre este tema en particular y se puede editar en la derivación más tarde. Es sólo deriva del genérico principio de incertidumbre.
Sofia
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4312
El tiempo no es un operador, s.t. este tipo de incertidumbre en relación difiere de la forma habitual, en el que participan los operadores. (Hay a pesar de los intentos de definir el tiempo como un operador en el momento de la llegada de problemas). Y a pesar de que, en la física nuclear conocemos bien inestables (radiactivos) núcleos. Los núcleos inestables son los llamados estados resonantes, y la energía de esos estados no está bien definida, tiene una anchura $\Gamma$. Estos estados de decaimiento, tienen también un llamado a la mitad de la vida. De hecho, estas dos cantidades obedecer el principio de incertidumbre acerca del tiempo y de la energía, $\Gamma \cdot \tau_{1/2}$ es de la orden de $\hbar$. No es exactamente $\hbar/2$ menos que ajustar $\tau_{1/2}$ por algunos multiplicativo constante para obtener un adecuado $\Delta t$ a fin de obtener $\hbar/2$.
Ahora, $\Delta E$ no representa la variación en el tiempo de la energía, cuando la energía no está definido, eso no quiere decir que varía en el tiempo, pero que el sistema no está en un eigenstate de la Hamiltoniana.
