En un ejercicio me pidieron que demostrara que
(a) Las estructuras $(\mathbb{R}^+,1,\cdot)$ y $(\mathbb{R},0,+)$ son elementalmente equivalentes.
(b) Las dos estructuras $(\mathbb{N},<)$ y $(\mathbb{Q},<)$ no son elementalmente equivalentes.
(c) La estructura $(\mathbb{R},0,1,+,\cdot )$ no es una subestructura elemental de la estructura $(\mathbb{C}, 0,1,+,\cdot)$ .
¿Puedo comprobar si lo que estoy haciendo es correcto?
Espero que esté bien que ponga las tres preguntas juntas, ya que están algo relacionadas.
Sinceramente, ¡gracias!
(a) Para (a), intenté demostrar que las dos estructuras son de hecho isomorfas.
Dejemos que $\mathcal{N}=(\mathbb{R}^+,1,\cdot)=(\mathbb{R}^+,J)$ .
Dejemos que $\mathcal{M}=(\mathbb{R},0,+)=(\mathbb{R},I)$ .
Definir $e:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ , $e(x)=e^x$ .
Entonces $e$ es una biyección.
También tenemos, $e(I(c_0))=e(0)=1=J(c_1)$
Denote $I(F)=+$ , $J(F)=\cdot$
Para cada $a_1,a_2,a_3\in M$ tenemos $I(F)(a_1,a_2)=a_3 \iff a_1+a_2=a_3 \iff e^{a_1+a_2}=e^{a_3} \iff e^{a_1}\cdot e^{a_2}=e^{a_3} \iff J(F)(e(a_1),e(a_2))=e(a_3)$
Por lo tanto, $e$ es un isomorfismo. Por lo tanto, $\mathcal{M}$ y $\mathcal{N}$ son isomorfas y, por tanto, elementalmente equivalentes.
(b) Considere $\varphi= (\forall x_1 (\exists x_2 (P_< (x_2,x_1)))) $ .
Entonces $(\mathbb{N},>)\not\models \varphi$ pero $(\mathbb{Q},<)\models \varphi$ .
(c) Considere $\varphi=(\forall x_1 (\exists x_2 (F_\times (x_2, x_2)=x_1)))$
Entonces, $(\mathbb{R},0,1,+,\cdot)\not\models\varphi$ (ya que la raíz cuadrada de $-1$ no está en $\mathbb{R}$ ) pero $(\mathbb{C},0,1,+,\cdot)\models\varphi$ .
