Liberando una esfera desde dentro de una esfera

Question

Podemos incrustar $S^2\times I$ a $\mathbb{R}^3$, teniendo un compacto de 3 bolas y extracción de una abierta 3-bola desde su interior. Tomando el límite da una incrustación $i: S^2\sqcup S^2\hookrightarrow\mathbb{R}^3$, como "una esfera contenida dentro de otra esfera". Ahora es intuitivamente claro que esta inclusión es no ambiente isotópicas para la incrustación $j$ dado por poner estos dos esferas "side-by-side" en $\mathbb{R}^3$. Es decir, no hay isotopía $F_t:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$$F_0=1_{\mathbb{R}^3}$$F_1\circ i=j$. Al menos, esto se ve visualmente obvio. Suponiendo que mi intuición no está traicionando a mí y esto no es falso, lo que es una forma elegante para demostrar esto?

También, (por qué) no (no) existe una incrustación $S^2\times I\hookrightarrow\mathbb{R}^3$ cuyo límite es el ambiente-isotópico a la "side-by-side" de la incrustación? ¿Por $S^{n-1}\times I\hookrightarrow\mathbb{R}^n$?

Answer 1

Para tu primera pregunta, mira complementos (un "fundamentales" de la técnica en el análisis de ambiente isotopies/ambiente homeomorphisms; por ejemplo, el "nudo de grupo"):

Deje que la unión de las dos primeras esferas ser $S$, y la unión de las dos últimas esferas ser $T$. Una isotopía en $\mathbb{R}^3$ de los que tomaron $S$$T$, en particular, termina con un homeomorphism de $\mathbb{R}^3$ propia $S$$T$, por lo tanto la producción de un homeomorphism de$U=\mathbb{R}^3\setminus S$$V=\mathbb{R}^3\setminus T$. Pero $U$ tiene sólo uno de sus tres componentes conectados contráctiles (el interior de la esfera interna), mientras que $V$ tiene dos de sus tres componentes contráctiles (el interior de las dos esferas), contradiciendo que se homeomórficos.

$\Big($Una manera de demostrar a los demás componentes no son contráctiles es que tienen no trivial de la segunda homotopy y homología de grupos, como la exhibida por los elementos representados por las esferas de sí mismos.$\Big)$

Para su tercera (y la segunda pregunta, en la generalidad, he aquí un argumento que no es la incrustación de $M=S^{n-1}\times I$ $\mathbb{R}^n$con límite ambiente isotópica para la "side-by-side" de la incrustación de
$S_0\sqcup S_1$. Por cualquier letra de la a $S$ I denotan una copia de $S^{n-1}$. Para la comodidad de la imaginación, pensar $n=2$:

(1) Hasta isotopía de ambiente, sólo hay tres incrustaciones de $S_0\sqcup S_1$$\mathbb{R}^n$ : el "aguacate$^+$ tipo de" incrustaciones $A^+$ $S_0$ dentro $S_1$, el "aguacate$^-$ tipo de" incrustaciones $A^-$ $S_1$ dentro $S_0$, y el "side-by-side" tipo de incrustaciones $B$ $S_0$ $S_1$ "junto a" el uno al otro.

$\Big($Caen dentro de estos tres tipos es sólo un caso de análisis; que cualquiera de las dos incrustaciones en el mismo "tipo" son del ambiente isotópica también es fácil: (a) primero, traducir y dilatar hasta el $S_1$ incrustaciones de partido, y luego de estar en el mismo caso se refiere a los dos $S_2's$ está incorporando en el mismo componente de el elogio de la $S_1$, de modo que (b) puede mover alrededor de ellos en los que el componente hasta que coincidan.$\Big)$

(2) $A^\pm$ no están de ambiente isotópico a $B$, contando contráctiles de los componentes de sus complementos, como en la respuesta a su primera pregunta: $A^\pm$ tiene uno, $B$ tiene dos.

(3) Una incrustación de $M=S\times I$ $R^n$no ha $\partial M = B$ hasta isotopía de ambiente.

$\Big($ ¿Por qué? He aquí una prueba, que me pareció una especie de diversión: Supongamos $\partial M = B$, es decir, en el "side-by-side" de acuerdo. Desde $M$ está conectado, $int(M)=M\setminus \partial M$ debe estar fuera de ambas esferas de la $\partial M$, ya que si ésta se encuentra dentro de uno, no puede tocar el otro. Deje $x$ ser el centro de de la $S_1$ componente de $\partial M$. Ahora $M$ es compacto, por lo que tiene un punto de $p$ que es de la máxima distancia de $x$. Tal $p$ debe ser un límite de punto de
$M$, ya que en un punto interior, podríamos mover ligeramente en la dirección opuesta a la de $x$ y permanecer dentro de $M$. Pero $p$ no puede ser en $S_1$ o $S_2$, ya que sus lados externos se "rellenan" por el conjunto abierto $int(M)$... esto de una geometría Euclidiana argumento que voy a dejar de rigorizing aquí. Por lo $p$ está en ninguna parte, una contradicción.$\Big)$

(4) Por proceso de eliminación, $\partial M$ debe ser de ambiente isotópico a $A^\pm$, que por (2) es no ambiente isotópica para la "side-by-side" de la incrustación de $B$, que es lo que quería.

Answer 2

Edit: Esto es para responder a la pregunta de por qué no podemos tener una incrustación $\mathbb S^{n-1}\times I\hookrightarrow\mathbb R^n$ tal de que el límite está en dos de lado a lado esferas en lugar de dos esferas anidadas. Me dijo: "la segunda pregunta" pero cambió.

A mí me parece que si usted tiene una incrustación de $S^{n-1}\times I$ a $\mathbb R^n$, este es el mismo como un ambiente isotopía de una copia de $S^{n-1}$ a otro. (He encontrado que es más fácil visualizar la hora de pensar en el hecho de que no se puede incrustar un cilindro en $\mathbb R^2$, excepto como un anillo de círculos concéntricos.)

En particular, usted está tratando de conseguir una esfera de acotar el mismo disco que la otra esfera, por un homotopy cuya imagen en cualquier momento, nunca se cruza con la imagen en otro momento. Usted ya ha notado que dos esferas concéntricas obligado el mismo disco: así que usted está tratando de llegar a la primera esfera se $A$ a rodear a la otra esfera $B$. Desde $B$ corta un componente de $\mathbb R^n$, se puede quitar ese componente y conocer la isotopía no pasará a través de ella sin pasar primero a través de $B$, lo cual no está permitido. Por lo tanto eliminar una bola de $C$ o un punto desde el interior de $B$. $A$ es contráctiles en $\mathbb R^n-C$, e $B$ no es: $B$ genera el $n-1$st homología grupo de la resultante del colector. Esta también es una buena manera de ver por qué va a trabajar en $\mathbb R^{n+1}$, aunque, por supuesto, en el caso de que usted realmente no tiene un "cilindro" (tome $I$ a ejecutar en el $n+1$st dimensión con cada una de las $S^{n-1}$ $n$- hyperplane).