Cómo encontrar un punto en una línea más cercana a otro punto determinado?

Question

Dada la línea de $x+2=\frac{y+4}{2}=\frac{z-5}{-2}$
Quiero encontrar el punto más cercano de esta línea a $(1,1,1)$

Supongo que aquí los detalles no importan, pero en general, ¿cómo se hace esto? Necesitamos un vector perpendicular a la línea, sino que también alcanza a $(1,1,1)$.

Answer 1

Un punto en la línea es $(-2, -4, 5)$ y otra es $(0,0,1)$ (que se encuentra mediante el ajuste de la ecuación a 0, entonces a 2). Así que el punto general es $(-2t, -4t, 1+4t)$. Desea que el producto escalar del vector de un punto en la línea de a $(1, 1, 1)$ y un vector a lo largo de la línea de cero. Así $$(-2, -4, 4)\cdot(-2t-1, -4t-1, 4t)=0$$ $$4t+2+16t+4+16t=0$$ $$t=\frac{-1}{6}$$ Y el punto es $$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$$

Answer 2

Es un método para definir parámetros de la línea. Así $$\vec{r}(t) = (t-2)\hat{\imath} + (2t-4)\hat{\jmath} + (-2t+5)\hat{k}$$ Podemos entonces definir el valor real de la función de $d(t)$ que representa la distancia desde la línea de a $(1,1,1)$ para cualquier valor de $t$. Por lo tanto $$d(t) = \sqrt{(t-3)^2 + (2t-5)^2 + (-2t+4)^2} = \sqrt{9t^2 - 42t + 40}$$ Para encontrar el mínimo, es ahora una única variable del problema de optimización. Así que por norma de procedimiento, ver el $d'(t)$ $$d'(t) = \frac{9t - 21}{\sqrt{9t^2 - 42t + 40}}$$ El punto crítico se produce en $t = \frac{7}{3}$, por lo que el punto más cercano es $\vec{r}(\frac{7}{3}) = (\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$.

Answer 3

En primer lugar expresar $y$ $z$ en términos de $x$: $y=y(x)$, $z=z(x)$. Usted quiere encontrar el mínimo de $f(x) = (x-1)^2 + (y(x)-1)^2 + (z(x)-1)^2$. Tomando nota de que $f(x)$ es una parábola, usted debe encontrar fácilmente el (único) $x$ que minimiza $f(x)$ (mínimo global). Entonces, obtendrá $y(x)$ $z(x)$ por sustitución.

EDIT: Explícitamente, $y(x)=2x$$z(x)=1-2x$. Esto conduce a $f(x)=9x^2-6x+2$, cuyo mínimo se obtiene en $x=1/3$. La solución es entonces $(x,y,z)=(1/3,2/3,1/3)$, como ya se ha dado en las dos respuestas anteriores.

Answer 4

El uso de multi-variable de cálculo que iba a escribir una fórmula para la distancia desde el punto (1,1,1) para el punto arbitrario (x,y,z) (este segundo puntos para satisfacer las necesidades de la ecuación ya que se encuentra en la línea). A continuación, aplicar el multi-variable procedimiento de optimización: Encontrar los puntos críticos de esta función (aquellos puntos donde ambas derivadas parciales iguales a cero o aquellos puntos donde sea derivada parcial es indefinido) y examinar estos para encontrar el valor mínimo de la distancia.

Si usted desea utilizar álgebra lineal, un vector desde el punto (x,y,z) (en la línea) para el punto (1,1,1) es $<1-x,1-y,1-z>$ Ahora tome un vector direccional de la línea y calcular el producto escalar de este con $<1-x,1-y,1-z>$. Como usted ha dicho, en este punto, el producto debe ser cero, por lo que resolver para x,y y z.