Mostrar que $x^4-10x^2+1$ es reducible$\mathbb{Q}(\sqrt{6}), \mathbb{Q}(\sqrt{2}),$$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Hay un método más fácil?

Question

Ok, he trabajado en esto, ya que yo estaba escribiendo. Pero mi solución parece clase de patán y consiste en un montón de tedioso álgebra que he omitido aquí. Puede alguien pensar que de un método más fácil?

(1) Reducibilidad $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$

Bastante sencillo, como la sustitución de $y = x^2$ y la fórmula cuadrática en $y^2 - 10y + 1$ dar:

$x^4-10x^2+1 = (x^2-5-2\sqrt{6})(x^2-5+2\sqrt{6})$.

(2) Reducibilidad $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

Mayor reducción se obtiene: $(x-\sqrt{5-2\sqrt{6}})(x+\sqrt{5-2\sqrt{6}})(x-\sqrt{5+2\sqrt{6}})(x+\sqrt{5+2\sqrt{6}})$.

Además no es tan difícil demostrar $\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{2}-\sqrt{3}$ y $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{2}+\sqrt{3}$ , por lo que la reducción se convierte en:

$(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}-\sqrt{3})$.

Si la etiqueta de estos a, b, c, d de izquierda a derecha, a continuación:

$a.c = x^2-2\sqrt{2}x -1$ $b.d = x^2+2\sqrt{2}x -1$ , por lo que es reducible $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

(2) Reducibilidad $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$

$a.d = x^2-2\sqrt{3}x+1$ $b.c = x^2+2\sqrt{3} +1$ , por lo que es reducible $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

Answer 1

Bien, una posibilidad es escribir como una diferencia de dos cuadrados y por lo tanto los factores en una suma y diferencia. Por ejemplo: $$x^4-10x^2+1 = (x^2-5)^2 - 24$$ y observando que $24=4\cdot6$ es un cuadrado en $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$, así que esta es la diferencia de dos cuadrados.

Del mismo modo, $x^4-10x^2+1 = (x^2-1)^2 - 8x^2$ y la nota $8$ es un cuadrado en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

De nuevo, $x^4 - 10x^2 + 1 = (x^2+1)^2 - 12x^2$ $12$ es un cuadrado en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.