Girar un punto en círculo sobre un ángulo

Question

¿Cómo debo rotar un punto de $(x,y)$ $(a,b)$ en el conjunto de coordenadas que por cualquier ángulo?

Answer 1

La rotación de la transformación de un punto, tratado como un vector, sería (que parecen ser de las agujas del reloj así que voy a swing con eso):

$\bigl(\begin{smallmatrix} x'\\ y' \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} \cos(\theta)&\sin(\theta)\\ -\sin(\theta)&\cos(\theta) \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} x\\ y \end{smallmatrix}\bigr)$

Answer 2

Suponiendo que se preguntan dónde va x fin después de ser girado en sentido horario para un ángulo de $\theta$ alrededor del origen, entonces la respuesta es dada por George S. y J. M. me gustaría dar una breve explicación de por qué esa es la respuesta.

La clave está en que la rotación es una transformación lineal. Si escribimos Ax para el punto x girado, luego, a continuación,$A(ax+bx) = a(Ax) + b(Ax)$, donde un y b son algunos de los números reales. Aquí ax es un punto que se obtiene por estiramiento de las dos coordenadas, y se encuentra en la recta que contiene a x y el origen. Es una operación de escalado. También, $x+y$ se obtiene mediante la suma de las coordenadas, que se puede imaginar como la diagonal de un paralelogramo cuyos bordes son x y y. Por lo que la ecuación de $A(ax+bx) = a(Ax) + b(Ax)$ dice que si cambiar la escala de una figura con dos puntos, luego "añadir" los puntos tomando la diagonal del paralelogramo, y luego girar a obtener el mismo resultado se obtiene si empieza por la rotación y, a continuación, la escala y agregar.

Ahora, suponiendo que la ecuación es ACEPTAR cuando Una representa una rotación, tenga en cuenta que todos los vectores $x=(a,b)$ puede ser escrito como $a(1,0)+b(0,1)$, por lo que su rotación se $a(A(1,0))+b(A(0,1))$. En otras palabras, todo lo que usted necesita saber es donde hacen los puntos (1,0) y (0,1) terminan después de ser rotada (es decir, usted necesita los puntos a(1,0) y(0,1), cada uno con dos coordenadas). Así que los cuatro números son suficientes para averiguar donde todos los puntos de la final después de haber sido girado.

Transformaciones lineales son la razón matrices son importantes.