Preliminares.-Porque de $\sin \dfrac{16\pi}{7}=\sin\left(2\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right)=\sin\dfrac{2\pi}{7}$ podemos cambiar el LHS por $$\sqrt[3]{\sin \frac{4\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sin \frac{8\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sin \frac{2\pi}{7}} $$
Poner $x=\dfrac{2\pi}{7}\iff 7x=2\pi\\\sin(4x)=\sin(7x-3x)=-\sin(3x)=4\sin^3(x)-3\sin(x)\\4\sin^3(x)-3\sin(x)=2\sin(2x)\cos(2x)\\4\cos(x)(1-2\sin^2(x)=4\sin^2(x)-3$
El cuadrado y simplificando obtenemos $$64\sin^6(x)-112\sin^4(x)+56\sin(x)-7=0\iff64X^3-112X^2+56X-X=0$$
donde $\sin^2(x)=X$. Las soluciones de esta ecuación cúbica después de poner la forma reducida
$$64\left(X-\frac{7}{12}\right)^3-\frac{28}{3}\left(X-\frac{7}{12}\right)+\frac{7}{27}=0$$
$$X_1\approx0.611260466978\\X_2\approx0.950484433951\\X_3\approx0.188255099071$$ these values are exactly $$X_1=\sin^2\left(\frac{2\pi}{7}\right)\\ X_2=\sin^2\left(\frac{4\pi}{7}\right)\\X_3=\sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right)$$
Demostrar que ►$\sin \dfrac{2\pi}{7} + \sin \dfrac{4\pi}{7} + \sin \dfrac{8\pi}{7}=\dfrac{\sqrt7}{2} $◄
Porque de $$\sin^6(x)-\frac74\sin^4(x)+\frac78\sin(x)-\frac{7}{64}=0$$ tenemos
$$\left(\sin \dfrac{2\pi}{7} + \sin \dfrac{4\pi}{7} + \sin \dfrac{8\pi}{7}\right)^2=\frac74+2\left(\sin \dfrac{2\pi}{7}\sin \dfrac{4\pi}{7}+\sin \dfrac{2\pi}{7}\sin \dfrac{8\pi}{7}+\sin \dfrac{4\pi}{7}\sin \dfrac{8\pi}{7}\right)$$ $$$$
El uso de $\space 2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B)$ $\space\cos(2\pi-A)=\cos A$ es fácil comprobar que $\space\sin \dfrac{2\pi}{7}\sin \dfrac{4\pi}{7}+\sin \dfrac{2\pi}{7}\sin \dfrac{8\pi}{7}+\sin \dfrac{4\pi}{7}\sin \dfrac{8\pi}{7}=0$.
Por lo tanto $$►\sin \dfrac{2\pi}{7} + \sin \dfrac{4\pi}{7} + \sin \dfrac{8\pi}{7}=\frac{\sqrt7}{2}◄$$
►►Con $(A,B,C)=(\sin x,\sin 2x,\sin 4x)$, donde todavía se $x=\dfrac{2\pi}{7}$, tenemos los siguientes:
$$\begin{cases}A^2+B^2+C^2=\dfrac74\\A+B+C=\dfrac{\sqrt7}{2}\\(ABC)^2=\dfrac{7}{64}\Rightarrow \sqrt[3]{ABC}=\dfrac{-\sqrt[6]7}{2}\end{cases}$$ y queremos demostrar que
$$\sqrt[3]A+\sqrt[3]B+\sqrt[3]C=M\space(= RHS)$$
El uso de la identidad
$$(\sqrt[3]+\sqrt[3]B+\sqrt[3]C)^3=a+B+C+3\left(\sqrt[3]{A^2}(\sqrt[3]B+\sqrt[3]C)+
\sqrt[3]{B^2}(\sqrt[3]+\sqrt[3]C)+\sqrt[3]{C^2}(\sqrt[3]+\sqrt[3]B\right)+6\sqrt[3]{ABC}$$ tenemos
$$M^3=\frac{\sqrt7}{2}+3(\sqrt[3]{A^2}(M-\sqrt[3]A)+\sqrt[3]{B^2}(M-\sqrt[3]B)+\sqrt[3]{C^2}(M-\sqrt[3]C)+6\left(\dfrac{-\sqrt[6]7}{2}\right)$$
$$M^3=\left(\dfrac{3\sqrt[6]7}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt[3]7}{3}-2+\frac{2}{\sqrt[6]7}(\sqrt[3]{A^2}+\sqrt[3]{B^2}+\sqrt[3]{C^2})M\right)$$
►►►Para terminar tenemos que demostrar que
$$\frac{2}{\sqrt[6]7}(\sqrt[3]{A^2}+\sqrt[3]{B^2}+\sqrt[3]{C^2})(\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}+\sqrt[3]{C})=\sqrt[3]{3\sqrt[3]7-4}-\sqrt[3]{3\sqrt[3]7-5}$$
Estoy cansado así que me detengo aquí hasta mañana. Si alguien quiere terminar (en particular, la O. P.) que él puede hacerlo. Tenga en cuenta que el problema ha sido considerablemente simplificado.
