Evaluar $ 1 + \sum_{i=0}^{n-2} [ \prod_{k=0}^{i} (n-k)/(r-k) ] $

Question

¿Existe una forma en la que la expresión

$$ 1 + \sum_{i=0}^{n-2} \prod_{k=0}^{i} \dfrac{n-k}{r-k} $$

¿se puede simplificar?

Simplificaría algunas ecuaciones con las que estoy trabajando.

Answer 1

En primer lugar, utilizando la ecuación de recurrencia de Euler $\Gamma$ -función: $$ \prod_{k=0}^m \frac{n-k}{r-k} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-m)} \cdot \frac{\Gamma(r-m)}{\Gamma(r+1)} $$ Entonces, cambiando la variable de suma como $m \to n-2-m$ : $$ 1 + \sum_{m=0}^{n-2} \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-m)} \cdot \frac{\Gamma(r-m)}{\Gamma(r+1)} = 1 + \sum_{m=0}^{n-2} \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-(n-2-m))} \cdot \frac{\Gamma(r-(n-m-2))}{\Gamma(r+1)} = \\ 1 + \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(r+1)} \sum_{m=0}^{n-2} \frac{\Gamma(m+r+2-n)}{\Gamma(m+2)} = 1 + \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(r+1)} \sum_{m=0}^{n-2} \frac{\Gamma(m+r+2-n)}{\Gamma(m+2)} $$ Ahora la última suma es sólo una serie hipergeométrica: $$ \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(r+1)} \sum_{m=0}^{n-2} \frac{\Gamma(m+r+2-n)}{\Gamma(m+2)} = \frac{\Gamma(n+1) \Gamma(1+r-n)}{\Gamma(r+1)} \sum_{m=0}^{n-2} \frac{\Gamma(m+r+2-n)}{\Gamma(m+2) \Gamma(1+r-n)} = \\ \frac{1}{\binom{r}{n}} \sum_{m=0}^{n-2} \binom{m+r-n+1}{m+1} = \frac{n}{r-n+1} - \frac{1}{\binom{r}{n}} $$ La última igualdad se debe a que $s_{m+1} - s_m = \binom{m+r-n+1}{m+1}$ , donde $$ s_m = \frac{m+1}{r-n+1}\binom{m+r-n+1}{m+1} $$ Y por lo tanto los telescopios originales de la suma $$ \sum_{m=0}^{n-2} \binom{m+r-n+1}{m+1} = \sum_{m=0}^{n-2} (s_{m+1}-s_m) = s_{n-1} - s_0 $$

Ahora queda por calcular $s_{m+1}-s_m$ : $$ s_{m+1} = \frac{m+2}{r-n+1} \binom{m+r-n+2}{m+2} = \frac{m+2}{r-n+1} \cdot \frac{m+r-n+2}{m+2} \binom{m+r-n+1}{m+1} = \\ s_m + \binom{m+r-n+1}{m+1} $$

Answer 2

Creo que su suma asciende a:

$$ \frac{r+1}{r-n+1} - \frac{1}{\binom{r}{n}}$$

Podemos demostrarlo utilizando las integrales de Beta. Tenemos la identidad:

$$\frac{1}{\binom{r}{k}} = (r+1)\int_{0}^{1} t^{r-k} (1-t)^k dt$$

Lo que tienes es

$$1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\binom{n}{k}}{\binom{r}{k}}$$

Ahora

$$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\binom{n}{k}}{\binom{r}{k}} = \sum_{k=1}^{n-1} (r+1)\int_{0}^{1} \binom{n}{k} t^{r-k} (1-t)^k dt = $$

$$ (r+1)\int_{0}^{1} \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} t^{r-k} (1-t)^k dt = $$

$$ (r+1)\int_{0}^{1} t^{r-n} \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} t^{n-k} (1-t)^k dt = $$

$$ (r+1)\int_{0}^{1} t^{r-n} (1 - t^n - (1-t)^n) dt = $$ $$ (r+1)\int_{0}^{1} t^{r-n} - t^r - t^{r-n}(1-t)^n dt = $$ $$ \frac{r+1}{r-n+1} - 1 - (r+1)\int_{0}^{1}t^{r-n}(1-t)^n dt =$$

$$ \frac{r+1}{r-n+1} - 1 - \frac{1}{\binom{r}{n}}$$

(en el último paso utilizamos la identidad integral Beta mencionada anteriormente).

Por lo tanto, la suma que busca es

$$ \frac{r+1}{r-n+1} - \frac{1}{\binom{r}{n}}$$

Aquí hay un par de respuestas que utilizan la integral Beta:

Fórmula de la serie armónica $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ debido a Gregorio Fontana

http://math.stackexchange.com/a/6533/1102