Máximo Módulo de ruta

Question

Considere la posibilidad de cualquier entero, no constante de la función de $f:\Bbb C\to \Bbb C$. Elija cualquier $z\in\Bbb C$ y definen $m(r)\in\overline D(z,r)$, para cualquier $r\ge 0$, con esta propiedad: $$|f(m(r))|\ge|f(w)|\;\forall w\in \overline D(z,r)$$

Soy consciente de que esta definición puede ser ambigua, ya que el módulo no tiene que ser cumplido en un solo punto. También estoy consciente de que $|m(r)-z|=r$, la máxima módulo principio.

Preguntas:

• Es siempre posible elegir $m(r)$ de tal manera que $m$ es continuo, como una función de$[0,\infty)$$\Bbb C$?
• Si/cuando es el caso, tiene esta $m$ cualquier conocidas propiedades? ¿Hay alguna teoría acerca de esto?

EDIT: tengo la sospecha de que la respuesta a la primera pregunta es sí, ya que el módulo completo de una función no puede tener cualquiera de los máximos locales. Pero yo no tiene nada riguroso.

Answer 1

No siempre es posible.

WLOG podemos tomar $z = 0$. Que me deja libre para el uso de $z$ como la variable para funciones complejas.

Considerar e.g.la función de $f(z) = {z}^{16}+8\,{z}^{12}+432\,{z}^{8}-640\,{z}^{4}+256$. (Nota: pequeña errata en la función fija)

El máximo de módulo en el círculo de $|z|=r$ resulta ser en la diagonales $x = \pm y$ $r < 1.729363340$ aproximadamente, repentinamente cambia a la $x$ $y$ ejes.

EDIT: Esta función es simétrica en $z \to iz$ y su valor absoluto es modificado por el $z \to \overline{z}$, por lo que es suficiente con considerar el sector $z = r e^{i\theta}$, $0 \le \theta \le \pi/4$. Un extremo local de $|f(z)|$ sobre el arco $|z|=r$ debe satisfacer $\text{Im}(z f'(z)/f(z)) = 0$. La gráfica se parece a esto:

Las curvas de piezas de dar realmente mínimos locales (de hecho pasan a través de los ceros de $f$). Los ejes y la diagonal $x=y$ tiene el local maxima. Si se hace una gráfica de $|f(r)|/|f(r e^{i\pi/4})|$ recibe este:

Para $r < 1.729363340$ (aproximadamente) este ratio es inferior al $1$, por lo que los máximos son en las diagonales. Para $r > 1.729363340$ el ratio es mayor que $1$ y los máximos son en los ejes.