Puede una distribución multivariante con un singular matriz de covarianza tiene una función de densidad?

Question

Supongamos una distribución multivariante $\mathbb R^n$ tiene una singular matriz de covarianza. Podemos concluir que no tiene una función de densidad?

Por ejemplo, es el caso de la distribución normal multivariante, pero no estoy seguro de si es verdad para todas las otras distribuciones multivariantes.

Este es, creo, una cuestión de la existencia de Radon-Nikodym derivada respecto de la medida de Lebesgue en $\mathbb R^n$ , pero elemental de la teoría de la probabilidad también puede tener la respuesta.

Answer 1

Un singular matriz de covarianza significa que existe una combinación lineal $Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i$ de la $n$ variables aleatorias tales que $E[Y] = a_0$ y $\operatorname{var}(Y) = 0$. Por lo tanto, todos la probabilidad de masa se encuentra en un hyperplane de $\mathbb R^n$ definido por $\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_0$ , por lo que el $n$ variables aleatorias no tienen un $n$-función de densidad de la variable aleatoria.

Answer 2

A pesar de ello se alude a la anterior, quiero dejar claro que si bien no tienen una significativa densidad en $\mathbb{R}^{n}$ puede definir la densidad en un Rango de($\Sigma$)-dimensional en el subespacio, donde $\Sigma$ denota la matriz de covarianza.

Answer 3

Sí, pero va a ser una distribución de probabilidad sobre un menor de dimensiones subespacio. Usted podría argumentar que es una distribución de probabilidad en R^N si usted permite que cosas como funciones delta de dirac. Que una sutil matemáticos problema, pero los físicos, por ejemplo, lo hacen todo el tiempo.