¿Por qué, además de no tener sentido en el infinito de vectores?

Question

Estaba leyendo http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/infinito.pdf para aprender más acerca de infinitas dimensiones espacios vectoriales, y el autor sostiene que el estándar de base ($e_i$ es la secuencia de ceros excepto en la i-ésima posición en la que aparece un 1), no forma una base para $\mathbb{R}^\infty$ porque el espacio es definido sólo por encima de la suma de más de un número finito de vectores de la base. Así que, según ella, un vector como $(1,1,1,\dots)$ no está en el intervalo.

Si permitimos que el lapso para ser definido a través de una infinita suma, entonces, el autor argumenta que, algo como $(1,1,1,\dots)+(2,2,2,\dots)+(3,3,3,\dots)$ no tiene sentido, y por lo tanto tenemos que restringir el lapso de una suma finita.

Yo no entiendo por qué no se trata simplemente de $(6,6,6,\dots).$ Más fundamentalmente, ¿por qué no podemos generalizar el lapso para incluir una infinita suma de los vectores de la base?

Answer 1

El problema no es con la suma que usted escribió. Que es una suma finita (sólo 3 sumandos) y lo hace a la perfección sentido. El problema es que con las sumas con un infinito número de sumandos. Si usted permite que ellos, tarde o temprano se va a ejecutar en algo parecido a $$1+2+3+4+5+6+\ldots$$ a que no se puede asignar un valor numérico (o, mejor dicho, no se puede asignar un valor numérico en una forma canónica).

Answer 2

El span es mejor definido como el más pequeño (sub)el espacio que contiene el dado de vectores. Como el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas es un subespacio, la duración no puede ser más que eso.

Answer 3

Mi conjetura es que no habría problemas con respecto a la convergencia de un número infinito de infinitas sumas de dinero.

Esto es similar a los problemas relativos a $A_n = \sum_{i=1}^{m} a_{n, i} $ y dejando $n$ $m$ ir a $\infty$ de diferentes maneras.

Answer 4

El problema real es que infinitas sumas debe ser entendido como una especie de límite de una convergencia de la secuencia. Pero mientras que la operación puede tener sentido, no es un espacio vectorial de operación.

Si agrega una topología, puede introducir infinito sumas y las cosas se hacen perfecto sentido (siempre y cuando la suma converge). En este caso, usted podría comenzar con abrir bolas consta de intervalo abierto en las principales dimensiones combinadas con cualquier valor posible en el resto. Ahora todas las infinitas sumas de dinero que usted desea el trabajo a la perfección, como siempre que hay pointwise convergencia en cada dimensión de la infinita suma está definida.

Pero hay un montón de topologías puede utilizar. Por ejemplo, tal vez tu básicos de abrir las pelotas están abiertas intervalos de longitud de $l$ en todas las dimensiones. Ahora infinitas sumas de dinero se define siempre que convergen uniformemente en todas las dimensiones. Ahora las sumas que usted piensa que debe trabajar, no.

El cambio de la topología de dejar el espacio vectorial de las propiedades solos, pero infinitas sumas que se va a trabajar de manera diferente.

Tan largo y corto es este. Muchas estructuras matemáticas son infinitas dimensiones espacios vectoriales con infinitas sumas de dinero. (Un ejemplo importante que usted va a aprender es la de Hilbert espacios.) Pero infinita suma nunca es un espacio vectorial de operación.