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Question

Supongamos que yo estoy trabajando con un colector de Riemann $(M,g)$, y tengo una particular expresión coordinada para la métrica $g$.

Lo topológica de la información puede inferir sobre el colector $M$?

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Por ejemplo, ($S^3$ con Hopf coordenadas), supongamos que las coordenadas de a $(\eta, \xi_1 , \xi_2 ) $ en el que la métrica toma la forma:

$ds^2 = d \eta^2 + \sin^2(\eta) d \xi_1^2 + \cos^2(\eta) d\xi_2^2$

para $0 < \eta < \pi/2$, e $0 < \xi_1 , \xi_2 < 2 \pi$. Si yo no conocía esta fue una métrica para$S^3$, ¿cómo podría trabajar en eso? ¿Cómo sé que esto no es una métrica para los otros tres colector, decir $S^2 \times S^1$? Hay invariantes topológicos me puede calcular a partir de la métrica para distinguir entre estas dos posibilidades?

EDIT: Cambiado las desigualdades para ser estrictos, por lo que la métrica en mi ejemplo no degenerados.

Answer 1

La expresión que escribió no define una métrica de Riemann para las coordenadas en $S^3$, debido al $\eta=0$ o $\pi/2$ la métrica degenera. Lo que hace es definir las coordenadas de una porción de $S^3$, es decir, la parte donde las coordenadas satisfacen las desigualdades estrictas $0 < \eta < \pi/2$, $0 < \xi_1, \xi_2 < 2 \pi$.

Así que tal vez significaba para el uso estricto de las desigualdades $0 < \eta < \pi/2$, $0 < \xi_1, \xi_2 < 2 \pi$? En cuyo caso, yo diría que la expresión que escribió también define las coordenadas de otro 3-colector, es decir, $$(0,\pi/2) \times (0,2\pi) \times (0,2\pi) $$