Continuidad y continuidad secuencial

Question

La función $f:(X,d)\rightarrow(Y,\rho)$ es continua si y solo si $f$ es secuencialmente continua (esto significa que $x_n\rightarrow x \Rightarrow f(x_n)\rightarrow f(x)$)

Prueba. Primero muestro que si $f$ es continua entonces $f$ es secuencialmente continua. Considero la secuencia $x_n\rightarrow x_0$ por lo que puedo encontrar para $\varepsilon =\delta$ un valor $n_\delta$ tal que $|x_n-x_0|<\delta$. Al hacer esto puedo usar la hipótesis de que $f$ es continua, por lo que $|f(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon. Ahora, muestro la implicación contraria. Ahora sé que $$ \forall \varepsilon >0 \,\,\,\,\exists n_\varepsilon : \forall n\geq n_\varepsilon \,\,\,\,\,|x_n-x_0|<\varepsilon $$ Así que para cierto $\varepsilon$: $$ |f(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon_1 $$ Si llamo $\varepsilon=\delta$ y $\varepsilon_1=\varepsilon$ tenemos la definición de continuidad.

No estoy segura, no sé por qué. ¿Pero se puede considerar aceptable esta prueba? Quiero decir, ¿es correcta y está escrita de manera decente?

Answer 1

Creo que la dirección hacia adelante está bien (aunque probablemente podrías pulirla un poco más), pero la dirección hacia atrás es un poco confusa.

Ahora sé que $\forall \epsilon > 0, \exists n_\epsilon : \forall n \geq n_\epsilon \implies |x_n - x| < \epsilon$

Así que para cierto $\epsilon$:

No, eso no es lo que realmente sabes. Lo que sabes es que

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$$

y queremos probar $$\lim_{z \to x} f(z) = f(x).$$

Esto significa que siempre que estemos en un vecindario de $x$, las imágenes son tolerablemente iguales. Creo que estabas demasiado enfocado en "igualar símbolos" para hacer que la prueba funcionara. El usuario117042 prácticamente esbozó la prueba para ti. Solo comentaré por qué eligió $\delta = 1/n$.

Al elegir $\delta = 1/n$, creamos una secuencia convergente tal que su imagen también debe acercarse razonablemente a su objetivo, pero todo depende de la continuidad, que asumimos que no es cierta, de ahí la contradicción.

También he notado que no estás usando las métricas en $X$ y $Y$ en absoluto y simplemente estás usando valores absolutos. También necesitas corregir eso después antes de enviar tu respuesta.

Answer 2

Resultado: Sea $f$ una función de un espacio métrico $\big( M , d \big)$ a un espacio topológico $X$, entonces $f$ es continua en $x\in M$ si y solo si dado cualquier sucesión $\big\{ x_n\,,\, n\in\mathbb{N}^\ast \big\}$ convergente a $x$, $f(x_n)\to f(x)$ en $X$.

Prueba. Supongamos que $f$ es continua en $x\in M$ y sea $N$ un entorno de $f(x)$, entonces $f^{-1}(N)$ es un entorno de $x$.

(Nótese que la continuidad es un concepto topológico.)

Dado que $x_n\to x$, entonces existe un $q\in\mathbb{N}^\ast$ tal que $x_n\in f^{-1}(N)$, para $n\geq q$.

Esto implica que $f(x_n)\in N$ para cualquier $n\geq q$ y por lo tanto $f(x_n)\to f(x)$.

Recíprocamente, asumimos que para cualquier sucesión $\big\{ x_n\,,\, n\in\mathbb{N}^\ast \big\}$ convergente a $x$, $f(x_n)\to f(x)$ en $X$. Supongamos que $f$ no es continua en $x$, entonces existe un entorno $V$ de $f(x)$ tal que $f^{-1}(V)$ no es un entorno de $x$, lo cual es equivalente a $$\underline{\text{$B(x, 1/m )\cap f^{-1}(V^c) \neq \emptyset$, $\forall m\in\mathbb{N}^\ast$.}}$$

Ahora podemos elegir $x_m\in B(x, 1/m )\cap f^{-1}(V^c)$ para cada $m\in\mathbb{N}^\ast$, entonces es fácil observar que $d(x_m, x)\xrightarrow{m\to+\infty} 0$, lo que implica que $f(x_m)\to f(x)$. Dado que $V$ es un entorno de $f(x)$, existe un $q\in\mathbb{N}^\ast$ tal que $f(x_m)\in V$, para $m\geq q$. Pero $x_m\in B(x, 1/m )\cap f^{-1}(V^c)$ implica que $f(x_m)\in V^c$, $\forall m\in\mathbb{N}^\ast$, lo cual lleva a una contradicción. Por lo tanto, $f$ es continua en $x$ y la prueba ha concluido.

Q.E.D.

Atención: Si $M$ es un espacio topológico general, la continuidad secuencial no implica necesariamente la continuidad.

Answer 3

Creo que tu demostración está mal escrita. Para la dirección (=>) podemos hacerlo directamente. Para la dirección contraria, sugiero usar un argumento por contradicción: la negación de la definición de continuidad conduce a que existe $\epsilon>0$ tal que para cualquier $\delta(\epsilon)>0$ ... ¡Luego solo necesitamos elegir $\delta=1/n$ y aparece una sucesión con la que tratar! (disculpa por mi error, lo he corregido)

Answer 4

PRUEBA FORMAL

$(\Rightarrow):$ Sea $f$ continua en $a$ y sea $(x_n)\in A^{\mathbb{N}}$ con $x_n\to a$ y $\epsilon>0.$

$\left.\begin{array}{r} \epsilon>0 \\ \\ f \text{ es continua en } a \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{r} (\exists \delta>0)(A\cap (a-\delta,a+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]) \\ \\ (x_n\to a)((x_n)\in A^{\mathbb{N}}) \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\begin{array}{r} \Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n\in A\cap (a-\delta,a+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]) \end{array}$

$\begin{array}{r} \Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow f(x_n)\in f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)) \end{array}$

$\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow f(x_n)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon))$

$\Rightarrow f(x_n)\to f(a).$ $-----------------------------------$

$(\Leftarrow):$ Sea $f$ no continua en $a$.

$$f \text{ no es continua en } a$$$$\Rightarrow$$ $$(\exists \epsilon>0)(\forall\delta >0)(f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]\nsubseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon))$$ $$\Rightarrow$$ $$(\exists \epsilon>0)(\forall n\in\mathbb{N})\left(f\left[A\cap \left(a-\frac1n,a+\frac1n\right)\right]\nsubseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)\right)$$ $$\Rightarrow$$ $$(\exists \epsilon>0)(\forall n\in\mathbb{N})\left(\exists x_n\in A\cap \left(a-\frac1n,a+\frac1n \right)\right)(f(x_n)\notin (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)$$ $$\Rightarrow$$ $$\left(\exists (x_n)\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to a)(f(x_n)\nrightarrow f(a)).$$

$-----------------------------------$

NOTA:

$$\left[\left(\forall (x_n)\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a))\right] \Rightarrow \left[f \text{ es continua en } a\right]$$

$$\equiv$$

$$\left[f \text{ es continua en } a\right]'\Rightarrow \left[\left(\forall (x_n)\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a))\right]'$$

$$\equiv$$

$$f \text{ no es continua en } a\Rightarrow \left(\exists (x_n)\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to a\wedge f(x_n)\nrightarrow f(a)).$$