Teorema de extensión de Tietze para funciones de valor complejo

Question

¿Por qué este teorema sólo se establece para funciones de valor real y no para funciones de valor complejo?

Gracias.

Answer 1

El artículo de wikipedia sobre el Teorema de Extensión de Tietze menciona que se puede sustituir $\mathbb{R}$ con $\mathbb{R}^I$ para cualquier conjunto de índices $I$ . Tomando $\# I = 2$ -- y, por supuesto, usando esa $\mathbb{C}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ ¡! -- obtenemos el resultado que usted pregunta. Así que, en mi opinión, esta es una referencia estándar que incluye la versión del teorema por la que preguntas.

La versión para $\mathbb{C}$ -se deduce inmediatamente de la versión para $\mathbb{R}$ -porque una función $f: X \rightarrow \mathbb{C}$ es continua si sus partes real e imaginaria $\Re f, \Im f: X \rightarrow \mathbb{R}$ son continuos: esta es la propiedad universal del producto directo. Así que se puede aplicar la $\mathbb{R}$ -de Tietze a cada componente para obtener el $\mathbb{C}$ -versión valorada. (Este argumento funciona literalmente con $\mathbb{R}^2$ sustituido por $\mathbb{R}^I$ para cualquier conjunto $I$ : es de nuevo la propiedad universal del producto directo).

Answer 2

Dado que el teorema sólo utiliza la topología de $\mathbb R$ y de ninguna manera la estructura multiplicativa, $\mathbb C$ es básicamente lo mismo que $\mathbb R^2$ . Pero el teorema se generaliza fácilmente a $\mathbb R^n$ : sólo hay que ampliar cada componente por separado.