Probar que para los vectores $v_1,...,v_n$ en $\mathbb C^n$, $\{v_1,...,v_n\}$ es una base para $\mathbb C^n$ iff su conjugado es una base para $\mathbb C^n$

Question

Probar que para los vectores $v_1,...,v_n$ en $\mathbb C^n$, $\{v_1,...,v_n\}$ es una base para $\mathbb C^n$ si y sólo si $\{\bar v_1,..., \bar v_n\}$ es una base para $\mathbb C^n$.

Me sabe intuitivamente que el conjugado de $a+bi$, $a-bi$ es ortogonal a $a+bi$. Ya que son ortogonales, entonces el intervalo de $v_1,...,v_n$ $\bar v_1,...,\bar v_n$ es el mismo, y $v_i \in \mathbb C^n$$\bar v_i\in\mathbb C^n$.

Por favor dejen sugerencias sobre cómo puedo demostrar esto formalmente.

Edit: no todos los conjugados son ortogonales, gracias Abramos.

Answer 1

Sugerencias: para $\;a_i\in\Bbb C\;$ :

$$\sum_{i=1}^n a_iv_i=0\iff 0=\overline 0=\overline{\left(\sum_{i=1}^n a_iv_i\right)}=\sum_{i=1}^n\overline{(a_iv_i)}=\sum_{i=1}^n\overline{a_i}\overline{v_i}$$

Así que tenemos que $\;\forall\,i\;,\;a_i=0\;\iff\;\forall\,i\;,\;\overline{a_i}=0\;$

Answer 2

Esto debe ser muy simple - sólo tiene que escribir fuera de los habituales argumentos para probar que un conjunto de vectores es (a) linealmente independientes, y (b) se extiende por todo el espacio, y utilice el hecho de que el conjugado satisface las propiedades:

$$\overline{z} = 0 \iff z = 0\text{ and }\overline{z_1 + \dots z_n} = \overline{z_1} + \dots \overline{z_n} \text{ and } \overline{az} = \overline{a}\,\overline{z}$$

Así, por ejemplo, si hay una combinación lineal igual a cero:

$$a_1v_1 + \dots a_nv_n = 0$$

a continuación, se habría

$$\overline{a_1v_1 + \dots a_nv_n} = 0$$

y, a continuación,

$$\overline{a_1v_1} + \dots \overline{a_nv_n} = 0$$

etc.

Answer 3

Lo que digo a continuación puede ser más de lo que se quería, y sólo podrá ser USD $\$ 0.02$ worth, but it's my $\$ 0.02$, entonces, ¿el infierno, aquí va:

Si el $v_i \in \Bbb C^n$ span $\Bbb C^n$, entonces para cualquier vector $w \in C^n$ también contamos $\bar w \in C^n$, por lo que existen coeffiecients $b_i \in \Bbb C$ tal que

$\bar w = \sum_i b_i v_i, \tag{1}$

de dónde

$w = \sum_i \bar b_i \bar v_i, \tag{2}$

lo que demuestra que la $\bar v_i$ también span $\Bbb C^n$. El argumento para la independencia lineal de las $\bar v_i$ $\Bbb C$ es, por supuesto, la misma que se da por Viejo Juan y DonAntonio en sus respuestas: si

$\sum_i b_i \bar v_i = 0, \tag{3}$

luego por la de agosto de leyenda que $\bar 0 = 0$ hemos

$\sum_i \bar b_i v_i = 0, \tag{4}$

lo que demuestra que la $\bar b_i = 0$ por la independencia lineal de las $v_i$. Por lo tanto el $b_i = 0$ lo que implica la $\bar v_i$ son linealmente independientes,y por lo tanto forman una base para $\Bbb C^n$.

Por supuesto, todo el argumento puede ser a la inversa, para mostrar que el $\bar v_i$ formulario de una base implica la $v_i$ do. QED

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!

Answer 4

Un enfoque diferente sería tenga en cuenta que $\mathbb{C}^n \cong \mathbb{R}^{2n}$ y, a continuación, anote la imagen de debajo de la base canónica de isomorfismo. Después de que usted puede trabajar con una base real para probar la declaración.