Hay un truco para la integración de una Gamma pdf con respecto a la forma de parámetro alfa? Todavía tengo que venir para arriba con una manera de hacerlo.
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Aaron
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Es inusual encontrar cualquier situación donde se desea integrar una gamma de la densidad con respecto a la forma de parámetros. (La única instancia en que puedo pensar es en un modelo Bayesiano con un inadecuado infinito uniforme antes en la forma, que es un modelo de raro.) En cualquier caso, el (definitivo) de la integral de una gamma densidad es una versión a escala de los siguientes:
$$I(y) \equiv \int \limits_0^\infty \frac{y^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} d\alpha.$$
No hay ninguna forma cerrada para esta integral por lo que tendría que usar de integración numérica para obtener su valor. El integrando rápidamente se convierte en pequeño para grandes valores de $\alpha$, por lo que podemos aproximar la integral mediante un número finito de límite superior para reemplazar el infinito límite superior.
Aproximación numérica de la integral se puede hacer con cualquier técnica numérica para la integración numérica, pero aquí es una aproximación de la función con los Simpson la segunda regla (que utiliza la interpolación cúbica de el integrando). Seleccionamos algunos de los grandes límite superior $D$ de la integral (donde el integrando se ha convertido en pequeño) y algunos gran número $N$ ( $N \text{ mod } 3 = 1$ ) para el número de intervalos en la aproximación numérica. A continuación definimos la aproximación de la función:
$$\hat{I}(s, D, N) \equiv \frac{3}{8} \cdot \frac{D}{N} \begin{bmatrix} \frac{y^{\alpha_0-1}}{\Gamma(\alpha_0)} + 3 \frac{y^{\alpha_1-1}}{\Gamma(\alpha_1)} + 3\frac{y^{\alpha_2-1}}{\Gamma(\alpha_2)} + 2 \frac{y^{\alpha_3-1}}{\Gamma(\alpha_3)} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\[6pt] \quad + \text{ } 3 \frac{y^{\alpha_4-1}}{\Gamma(\alpha_4)} + 3\frac{y^{\alpha_5-1}}{\Gamma(\alpha_5)} + 2 \frac{y^{\alpha_6-1}}{\Gamma(\alpha_6)} \quad \quad \quad \quad \quad \\[6pt] \quad + \cdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{ } \text{ } \\[6pt] \quad \quad + 3 \frac{y^{\alpha_{N-3}-1}}{\Gamma(\alpha_{N-3})} + 3\frac{y^{\alpha_{N-2}-1}}{\Gamma(\alpha_{N-2})} + 2 \frac{y^{\alpha_{N-1}-1}}{\Gamma(\alpha_{N-1})} + \frac{y^{\alpha_N-1}}{\Gamma(\alpha_N)} \end{bmatrix},$$
donde $\alpha_i \equiv i D /N$. Esta aproximación se acerca a la verdad integral como $D \rightarrow \infty$$N \rightarrow \infty$, pero debería ser suficiente para tomar $D$ lo suficientemente grande para que el integrando es muy pequeña. La convergencia puede ser probado a través de mirar mucho el valor cambia a medida que cambian $D$$N$.
