Dada una función de densidad de probabilidad continua $f(x)$ cuya expansión de Taylor es $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ con radio de convergencia $r$ . ¿Podemos decir algo sobre la relación entre $r$ y el comportamiento en cola de $f$ ? Por ejemplo, para la densidad normal, $r=\infty$ y tiene una cola algo "ligera". Sin embargo, para la densidad estándar de Cauchy, $r = 1$ y tiene una cola pesada. Otro ejemplo es la distribución logística, que tiene $r = \pi$ y una cola más pesada que la normal pero más ligera que la de Cauchy. Supongo que, en general, una densidad con cola más pesada debería tener menor $r$ . ¿Podemos encontrar la relación explícita?
Respuesta
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SomeEE
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La única información en la cola de la expansión de f son los coeficientes $a_n$ para $n \gg 0$ .
La relación es $$\frac{1}{r} = \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}.$$
Para muchos ejemplos estándar el límite existe de modo que $$\limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1/r$$ .
A la luz del comentario de whuber en el OP, ¿estás preguntando por las colas de $f$ como una serie de Taylor o las colas de la distribución $F(t) = \int_{-\infty}^t f dx$ ?
