Convergencia débil de combinaciones lineales de medidas de Dirac a una medida con signo

Question

Para una medida firmada $\mu$ en el Borel $\sigma$ -de la álgebra de $\mathbb{R}$ Satisfaciendo a $\vert \mu \vert < \infty$ ¿es siempre posible encontrar una secuencia de medidas $\{\mu_n\}$ cada una de ellas una combinación lineal de medidas de Dirac, que convergen débilmente a $\mu$ ? Con "débilmente" me refiero a

$$\int f(x) \mu_n(\text{d} x) \rightarrow \int f(x) \mu(\text{d} x)$$

como $n \rightarrow \infty$ para toda función continua y acotada $f$ . Si no es así, ¿ayuda a restringir los supuestos, por ejemplo, a las medidas positivas?

Answer 1

Sí. En primer lugar, ya que $||\mu||<\infty$ y $f$ está acotado, $$\int_{[-n,n]}f\,d\mu\to\int f\,d\mu.$$ Así que puede asumir que $\mu$ tiene un soporte compacto.

Ahora bien, si $\mu$ es compatible con $[-A,A]$ entonces $f$ es uniformemente continua en $[-A-1,A+1]$ Por lo tanto $$\mu_n=\sum_j\mu([j/n,(j+1)/n))\delta_{j/n}$$ funciona.

Editar: Se ha señalado que estoy intercambiando implícitamente dos límites al decir que podemos asumir $\mu$ tiene un soporte compacto. Arriba digo más o menos que $\chi_{[-n,n]}d\mu\to d\mu$ débilmente; de hecho esta convergencia es en norma y eso salva el día:

Para cualquier medida $\nu$ definir $$\nu_n=\sum_{j=-n^2}^{n^2}\nu([j/n,(j+1)/n))\delta_{j/n}.$$

Si $\mu$ es una medida real, entonces $\mu_n\to\mu$ débilmente: Fijar $\epsilon>0$ . Definir $$d\nu^A=\chi_{[-A,A]}d\nu.$$ Si $A$ es lo suficientemente grande, entonces $||\mu-\mu^A||<\epsilon$ y también $||\mu_n^A-\mu_n||<\epsilon$ por cada $n$ . Fijar tal $A$ . (Oops, la notación es ambigua: Por $\mu_n^A$ Es decir $(\mu^A)_n$ .)

Como en el caso anterior, tenemos $\lim_{n\to\infty}\int fd\mu_n^A=\int fd\mu^A$ . Por tanto, la desigualdad del triángulo muestra que $$\left|\int fd\mu_n-\int fd\mu\right|<\epsilon(1+2||f||_\infty)$$ si $n$ es lo suficientemente grande.