Demostrar que $ \left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n$ es uniformemente convergente en $S=[0,1]$ .

Question

Demostrar que $ \left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n$ es uniformemente convergente en $S=[0,1]$ .

Dado $f_n(x)=\left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n$ es una secuencia de funciones acotadas sobre $[0,1]$ y $f:S \rightarrow \mathbb R$ una función acotada , entonces $f_n(x)$ converge uniformemente a $f$ si

$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} ||f_n - f|| = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sup |f_n(x) - f(x)| \right)= 0$$

Como $$f(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x$$

Tenemos

$$\begin{split} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left\|\left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n - e^x\right\| &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left|\sup_{x \in S}\left[\left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n - e^x \right ]\right|\\ &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left|\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n - e^1 \right|\\ &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} |e-e| \\ &= 0 \end{split} $$

Soy nuevo en la secuencia. ¿Es esto apropiado para mostrar la convergencia?

Volviendo a la definición, ¿Cómo puedo demostrar que:

1. " $f_n(x)=\left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n$ es una secuencia de funciones acotadas sobre $[0,1]$ "?

2. $f:S \rightarrow \mathbb R$ ¿una función acotada?

Answer 1

Si no quiere verificar el máximo exacto puede acotar como

$$0 \leqslant e^x - \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n =e^x \left[1 - \left(1 + \frac{x}{n} \right)^ne^{-x}\right] \\ \leqslant e^x \left[1 - \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n \left(1 - \frac{x}{n} \right)^n\right] \\ = e^x \left[1 - \left(1 - \frac{x^2}{n^2} \right)^n \right],$$

desde $e^{x/n} > 1 + x/n$ lo que implica $e^{x} > (1 + x/n)^n $ para $x \in (-n,\infty).$

Por la desigualdad de Bernoulli, $(1 - x^2/n^2)^n \geqslant 1 - x^2/n$ y

$$0 \leqslant e^x - \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n \leqslant \frac{e^xx^2}{n} \leqslant \frac{e}{n},$$

que permite demostrar la convergencia uniforme en $[0,1]$ .

Answer 2

Escribamos explícitamente la diferencia $$e^x - ( 1 + \frac{x}{n})^n = \sum_{ k \ge 0} \frac{x^k}{k!} - \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k}\left(\frac{x}{n}\right )^k=\\ =\sum_{k\ge 0} \frac{[1-\prod_{l=1}^{k-1}(1- l/n)] x^k}{k!}$$ . Dado que cada coeficiente $1- \prod_{l=1}^{k-1} (1-\frac{l}{n})$ es $\ge 0$ ( y $0$ para $k \ge n+1$ ) concluimos que

$$0 < e^x - (1+ \frac{x}{n})^n\le e^1 - (1 + \frac{1}{n})^n$$ para todos $n \ge 0$ y $x\in [0,1]$ .

Ahora, sólo es necesario comprobar ( o utilizar ) que $(1+\frac{1}{n})^n \to e$ .

Answer 3

Como se muestra en la desigualdad $(2)$ de esta respuesta , $\left(1+\frac xn\right)^n$ está aumentando en $n$ . Así, para $x\ge0$ , $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x-\left(1+\frac xn\right)^n\right) &=e^x-\left(1+\frac xn\right)^{n-1}\\ &\ge e^x-\left(1+\frac xn\right)^n\\[3pt] &\ge0 \end{align} $$ Así que en $[0,1]$ , $$ 0\le e^x-\left(1+\frac xn\right)^n\le e-\left(1+\frac1n\right)^n $$

Answer 4

El logaritmo $\ln:[1,e]\to[0,1]$ es uniformemente continua en este intervalo, por lo que es un homeomorfismo uniforme, y basta con demostrar que $\ln f_n(x)=n\ln (1+x/n)$ es uniformemente convergente en $[0,1]$ . Pero esto se deduce inmediatamente del teorema de Taylor: $$ n\ln(1+x/n)-x=O(x^2/n). $$