Diferenciación de todos los órdenes y series de Taylor

Question

Dejemos que $f(x)$ sea una función definida en $(-1,1)$ con derivadas de todos los órdenes a cero iguales a cero; es decir: $f'(0)=0 , f''(0)=0 , f'''(0)=0 ...$ Si existe $c>0$ tal que: $Sup|f^{(n)}(x)| <= n!c^n$ con $x \in (-1,1)$ y $n \in \mathbb{N}$ donde $f^{(n)}(x)$ es el $n$ derivado de $f(x)$ y $Sup|f^{(n)}(x)|$ es el sumo de $n$ derivada de $f(x)$ en valor absoluto. Demostrar que $f(x)=0$ para cualquier $x \in (-1,1)$ .

Answer 1

Tenemos a través de la serie de Maclaurin para $f(x)$ la siguiente relación $$f(x) = f(0) + xf'(0) + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(0)}{(n - 1)!}x^{n - 1} + \frac{f^{(n)}(\xi_{n})}{n!}x^{n}$$ y por las hipótesis de la pregunta obtenemos $$f(x) = \frac{f^{(n)}(\xi_{n})}{n!}x^{n}\tag{1}$$ y esto lleva a $$|f(x)| \leq |cx|^{n}\tag{2}$$ Dejemos que $k$ sea un número con $0 < k < 1$ . Entonces podemos ver que $$|f(x)| < k^{n}$$ si $|x| < k/c$ . Desde $k^{n} \to 0$ como $n \to \infty$ se deduce que $f(x) = 0$ para todos $x$ con $|x| < k/c$ . Si $k/c \geq 1$ entonces hemos terminado.

Supongamos que $b = k/c < 1$ entonces necesitamos un poco más de trabajo. Claramente podemos ver que todas las derivadas de $f$ son cero cuando $|x| < b$ . Y como cada una de estas derivadas es continua se deduce que todas estas derivadas son cero si $|x|\leq b$ . Considere $g(x) = f(x + b)$ para que todas las derivadas de $g$ en $0$ son $0$ y derivados de $g$ satisfacen la misma desigualdad que $f$ . Por lo tanto, podemos repetir la misma lógica y se encontrará que $g(x) = 0$ para todos $x$ con $0 \leq x \leq k/c = b$ . Así que $f(x) = 0$ para todos $x$ con $0 \leq x \leq 2b$ . Continuando de esta manera podemos extendernos más y demostrar que $f(x) = 0$ para todos $x$ con $0 \leq x \leq nb$ para cualquier número entero positivo $n$ proporcionado $f$ se define en ese rango.

Se puede hacer un ejercicio similar para valores negativos de $x$ y nuestro trabajo está hecho. Obsérvese que el intervalo $(-1, 1)$ era arbitraria y el resultado sería válido para cualquier intervalo que contenga el punto $0$ .

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Actualización : Basado en el comentario del OP sobre el valor de $f(0)$ He añadido algunas observaciones. La respuesta presentada anteriormente supone que $f(0) = 0$ . Esto no se da como una hipótesis en la pregunta explícitamente. Sin embargo, si $f(0) \neq 0$ entonces no es posible de ninguna manera llegar a la conclusión $f(x) = 0$ para todos $x \in (-1, 1)$ . Averigüemos entonces qué sucede cuando $f(0) \neq 0$ . En ese caso, considere la función $F(x) = f(x) - f(0)$ . Claramente $F(0) = 0$ y todas las derivadas de $F$ son $0$ en $0$ . Por lo tanto, el argumento de mi respuesta anterior se aplica a ella y $F(x) = 0$ para todos $x$ dondequiera que se defina. Esto significa que $f(x) = f(0)$ para que $f(x)$ es una constante para todos los valores de $x$ dondequiera que se defina.