¿Qué es la $3^{\sqrt2}$ ? Definición de Poderes irracionales

Question

¿Qué es la $3^{\sqrt2}$ ?

Claramente podemos decir que $a^m = a \times a \times ...\times a \times a$ (m veces)

Es decir $$3^2=3 \times 3 $$

Pero ¿cómo podemos definir $3^{\sqrt2}$ ? ¿Cómo entender la definición de Potencias irracionales? No necesito el valor. Necesito una definición para entenderlo.

Answer 1

Asumo que te sientes cómodo con la exponenciación con exponentes racionales.

Sea $(x_n)$ sea una sucesión de números racionales tal que $\lim x_n = \sqrt 2$ . Entonces $3^{\sqrt2} = \lim 3^{x_n}$ .

Una de estas secuencias es $$ x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac2{x_n}\right), \quad x_0=2. $$

Answer 2

Siempre puede definir $x^y$ para $x>0$ tomando el logaritmo formal y definiéndolo para mantener la propiedad funcional del logaritmo:

$$\log x^y = y\log x$$

así que define:

$$x^y := \exp(y\log x)$$

En su caso, da $3^\sqrt{2} = \exp(\sqrt{2}\log 3)$ .

Answer 3

$3^{\sqrt{2}}= sup\{3^q \,| \, q \in \mathbb{Q} \wedge q^2<2 \}$

Answer 4

$3^{\sqrt2}$ es $e^{\sqrt2\cdot\ln3}$ donde " $e$ " es $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$ y " $\ln$ " es el logaritmo natural función.