Diferencia entre álgebra y geometría

Question

Buscar en el diccionario las definiciones de la geometría del álgebra es bastante insatisfactorio, ya que suelen ser del tipo

"la rama de las matemáticas en la que las letras y otros símbolos generales se utilizan para representar números y cantidades en fórmulas y ecuaciones".

"la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones de los puntos, las líneas, las superficies, los sólidos y los análogos de dimensión superior"

que no responden a la pregunta más allá de "la geometría es lo que hacen los geómetras" y un aún más despreciable "el álgebra son garabatos negros en una página para gente que hace álgebra". La única diferencia real que encuentro es la referencia a las cantidades (¿pero qué es una cantidad?). También suele haber comentarios sobre la geometría que se refieren a objetos del "mundo real", como las formas y los sólidos y las relaciones entre ellos. Dudo en aceptarlas porque no reconocen la distinción entre las observaciones y las matemáticas.

Así que, para plantear la pregunta con más precisión, ¿cómo se toma un conjunto de axiomas y se sabe que describen una "geometría" o un "álgebra" o cualquier otra materia? Parece poco probable que los matemáticos etiqueten las cosas de forma diferente sin tener una clara distinción entre ellas. A mi entender, el álgebra define operaciones sobre las "cosas" y la geometría tiene que ver con cómo las "cosas" siguen igual. Ahora que lo digo no tiene mucho sentido. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Tienes razón, el intento de distinción sólo tiene sentido desde un punto de vista bastante ingenuo, por muy popular que sea. Entre los matemáticos profesionales, estas etiquetas de "legado" heredadas tienen una sorprendente resistencia, que creo que se debe sobre todo/sólo a su amplio reconocimiento entre aficionados y profesionales por igual, a pesar de su inexactitud. Las tradiciones mueren con fuerza, incluso frente a consideraciones supuestamente racionales.

Hace más de 200 años, cualquiera que pudiera "demostrar realmente" las cosas, en lugar de dar una cuasi-heurística física/física, era un "geómetra"... pero esto no significaba que estuvieras "haciendo geometría", sólo significaba algo sobre la conformidad con los supuestos estándares de prueba de los antiguos geómetras griegos. La "aritmetización" del análisis a mediados y finales del siglo XIX significaba realmente "encontrar una manera de hacer una base rigurosa", en contraposición a la invocación de la "intuición física" sobre la continuidad y demás. (Esto contrasta con las ideas de Newton y Leibniz). explicaciones de cómo hacer el cálculo, en términos que eran difíciles de "aterrizar" hasta A. Robinson).

Así que, no, estas etiquetas no se refieren exactamente a mucho, pero son populares, y la gente habla en términos de ellas. :)

Answer 2

No veo que sean distintos. La geometría es el uso de los fenómenos visuales (a veces abstractos) para comprender un fenómeno analítico. Es la interacción entre los símbolos y la geometría lo que hace que salgan a la luz muchas matemáticas muy interesantes.