Iteración de construcción

Question

Considere la posibilidad de $f(x)= \frac{x}{\log x}$ repetirse n veces para una x dada en $Z^+.$ $f^2 = f \circ f.$

Deje $x_1 = x^2.$

Lo que me gustaría demostrar (o refutar) : $\exists ~\alpha = x_n - e > 0 $ tal que si n es mínima con

$ f^n(x^2) - e < \alpha $ $$\lim_{x \to \infty} n = \lceil \log x \rceil.$$

Ejemplo: Supongamos $\alpha \approx 0.0003$.

$\log(700,000^2) = 13.45 $ $f^{14}(700,000^2) = 2.7183$ pero $f^{13} = 2.727.$

Edit: La motivación puede arrojar un poco de luz sobre la cuestión. Parece que para los pequeños números que si tenemos una n con $\pi^n(x^2) = 1,$ para el mismo n tenemos $f^n \approx e + \Delta$ para un pequeño (pero aparentemente no desaparición) $\Delta >0.$ Esto, a pesar de que nos están complicando el error inicial de la PNT muchas veces a lo largo de un gran $x^2.$ Ingenuamente, yo esperaría n a diferir para f y $\pi$ $x^2$ se hace grande, y tal vez eso $\Delta$ iría rápidamente a 0. En lugar de eso parece ser que hay una buena correspondencia entre n para $\pi^n(x^2) $ $f^n(x^2).$ * no creo que esta correspondencia es manejable, pero pensó que tal vez algo se pueda decir acerca de f.

*El ejemplo anterior es un caso en punto. $\pi^{14}(700000^2) = 1.$

Answer 1

Falso. Sólo trate mayor número como $x = 10^{100}$.
$\log(x) \sim 230.258509$ , pero el correspondiente $n$ es de 97.
( $f^{97}(x^2) \sim 2.718294$ $f^{96}(x^2) \sim 2.726563$ ).

EDITAR

Deje $x_k = f^k(x^2)$,$\log(x_{k+1}) = \log(x_{k}) - \log \log(x_{k})$. Cuando $\log(x_k) \gg 1 $, $\log(x_{k}) \gg \log\log(x_{k})$. El comportamiento limitante de $n$ no debe ser $\log x$. En su lugar, debería ser algo como: $$n \sim \int_{?}^{\log x} \frac{dt}{\log t} \sim \frac{\log x}{C(x)}$$ para algunos la función $C(x)$ que diverge a $\infty$ muy lentamente.