límite de una función con infinito anidada raíces

Question

Me fue dado el siguiente problema : $$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}$$

La siguiente es mi planteamiento:

$= \sqrt{ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}} } $

Debo dividir por x:

$= \sqrt{ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}{x}} } $

Entonces me razonó que, obviamente: $ \sqrt{x+\sqrt{x+...}}<x$
que es $ \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}{x} = \frac{1}{x^y} : y>0 $
por lo tanto $\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}{x} =0$

Llegué a la conclusión de que el límite original es igual a $ \sqrt{\frac{1}{1+0}} = 1$

Fue mi razonamiento correcto? Y es este un legítimo enfoque matemático para resolver este límite?

Answer 1

Usted podría haber tomado este enfoque así:

$$A=\sqrt{x+\sqrt { x+\sqrt {x+...}}}$$

$$A^2=x+\sqrt{x+\sqrt { x+\sqrt {x+...}}}=x+A$$

$$A^2-A=x$$

$$A^2-A+\frac14=x+\frac14$$

$$(A-\frac12)^2=x+\frac14$$

$$A=\sqrt{x+\frac14}+\frac12$$

a continuación, el límite se convierte en

$$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\frac14}+\frac12}$$

Que es de hecho 1