Solución de la serie a $y''-xy'-y=0$

Question

Así que estoy aprendiendo a resolver la educación a distancia con la serie en mi propio mediante Boyce y DiPrima y ejercicio #3 es irking mí...sólo en busca de poder de la serie de soluciones en torno a la ordinaria punto... $$y''-xy'-y=0$$ Así que puedo empezar a $$y=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k, y'=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)a_{k+1}x^k, y''=\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^k$$ Ahora, el primer término derivado se multiplica por $x$, por lo que $$xy'=x\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)a_{k+1}x^k=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)a_{k+1}x^{k+1}$$ Para ver la serie me la puede expandir y por lo tanto $$\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)a_{k+1}x^{k+1}=a_1x+2a_2x^2+3a_3x^3+...$$ Necesito el resumen en términos de $x^n$ por lo que sólo puede reescribir como $$\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)a_{k+1}x^{k+1}=\sum_{k=0}^{\infty}ka_kx^k$$ Ahora puedo sustituir todos los derivados de la serie en mi ODA ad puedo conseguir $$y''-xy'-y=\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^k-\sum_{k=0}^{\infty}ka_kx^k-\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$$ $$=\sum_{k=0}^{\infty}[(k+2)(k+1)a_{k+2}-ka_k-a_k]x^k=\sum_{k=0}^{\infty}[(k+2)(k+1)a_{k+2}-(k+1)a_k]x^k$$ Así que ahora a resolver la ODA I, primero ha de resolver la recurrencia, obtener el $a_k$ en términos de$a_0$$a_1$. Puedo conseguir $$a_{k+2}=\frac{a_k}{k+2}$$ Para ver un par de términos, $$a_0=a_0, a_1=a_1, a_2=\frac{a_0}{2}, a_3=\frac{a_1}{3}, a_4=\frac{a_0}{2\cdot4}, a_5=\frac{a_1}{3\cdot5}, ...$$ Así que finalmente estoy listo para resolver para y. Sustituyendo en la mi $a_k$, $$y=a_0+\frac{a_1}{1}x+\frac{a_0}{2}x^2+\frac{a_1}{1 \cdot 3}x^3+\frac{a_0}{2 \cdot 4}x^4+\frac{a_1}{1 \cdot 3 \cdot 5}+...$$ $$=a_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{2^kk!}+a_1\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^kk!x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ Creo que esta es la respuesta (la respuesta de la página tienes arrancado por mi hijo...)

Answer 1

Todo lo bueno exceptthe últimas expresiones no son muy factoriales, que sólo usan el par o impar de términos. Son lo que se llama doble factoriales. Por ejemplo, 4! = 4x3x2x1, mientras que el 4!! = 4x2, y 5!! será 5x3x1.