Para un vector paquete de $E\to X$ con una conexión dada $\nabla$. Decimos que una sección de $s$ $E$ es paralela a un vector de espacio de $V$ si $\nabla_V s=0$. Si $\gamma:[0,1]\to X$ es un buen camino, nos dicen que $s$ es un transporte paralelo de $v$ a lo largo de $\gamma$ que $s(\gamma(0))=v$ $\nabla_{\dot{\gamma}}s=0$ (para ser precisos, se considera una extensión de $\dot{\gamma}$ a un campo de vectores).
Al $E$ tiene una métrica y $\nabla$ es compatible con esta métrica, entonces la métrica de compatibilidad definición implica que el transporte paralelo define una isometría (abusando de la notación un poco, métrica de compatibilidad de da $d/dt\langle s_1,s_2 \rangle=\langle \nabla_{t}s_1,s_2\rangle + \langle s_1, \nabla_{t}s_2\rangle = 0$ a lo largo de $\gamma$ secciones paralelas).
Pero si no tenemos una métrica. Podemos demostrar que el transporte paralelo es un inyectiva mapa?
