Si $N$ es un múltiplo de $100$ , $N!$ termina con $\left(\frac{N}4-1 \right)$ ceros.

Question

Hice ciertas preguntas sobre factoriales, y en una de ellas obtuve una respuesta muy interesante en la que alguien me dijo que es posible demostrar que

Si $N$ es un múltiplo de $100$ , $N!$ termina con $\left(\frac{N}4-1 \right)$ ceros.

Buscó una demostración de este tipo, no se encuentra al tratar de hacer allí, pensé en la inducción, pero no encajaba, pensé en varias maneras, pero no consiguió ningún progreso, me gustaría saber cómo hacer, o para ver una demostración de esto.

He pensado en intentar calcular la siguiente serie $$\sum_{k=0}^{\infty} \left[\frac{n}{5^k}\right]$$ sólo que estaba en duda porque está utilizando los cocientes $\left[\frac{n}{5^k}\right]$

Answer 1

No es cierto. Considere $N = 600$ .

$$\left\lfloor\frac{600}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{600}{25}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{600}{125}\right\rfloor = 120 + 24 + 4 = 148 = \frac{600}{4} - 2.$$

Answer 2

Una pista:

Un número terminado en cero es divisible por $10=2\times5$ . Por lo tanto, tenemos que encontrar las multiplicidades de $2$ et $5$ . Sin embargo, la multiplicidad de $2$ domina claramente la de $5$ . Por lo tanto, basta con encontrar la multiplicidad de $5$ .

Número de múltiplos de $5$ = $\left\lfloor\frac{N}{5}\right\rfloor$

Número de múltiplos de $25$ = $\left\lfloor\frac{N}{5^2}\right\rfloor$

Número de múltiplos de $125$ = $\left\lfloor\frac{N}{5^3}\right\rfloor$ ...

Answer 3

La fórmula correcta para el número de dígitos cero finales en $n!$ es $$ \frac{n-\sigma_5(n)}{4} $$ donde $\sigma_5(n)$ es la suma de la base- $5$ dígitos de $n$ . Por lo tanto, la fórmula que te han dado sólo es correcta si la suma de la base- $5$ dígitos de $n$ es $4$ . Desde $$ \begin{array}{l} 100_\text{ten}=400_\text{five}\\ 200_\text{ten}=1300_\text{five}\\ 300_\text{ten}=2200_\text{five}\\ 400_\text{ten}=3100_\text{five}\\ 500_\text{ten}=4000_\text{five} \end{array} $$ la fórmula que te han dado funciona para cada uno de ellos. Sin embargo, $600_\text{ten}=4400_\text{five}$ por lo que obtenemos que el número de dígitos cero finales será $$ \frac{600}{4}-2 $$ uno menos que la fórmula que se le ha dado.