Estructura de grupos en CP^infinty

Question

Me inspiré en la siguiente pregunta de orales de topología algebraica:

"¿Es $S^1$ el espacio de bucle de otro espacio?"

Esto es fácil de ver si se reconoce que $S^1$ es un $K(\mathbb{Z},1)$ y el espacio de bucle de cualquier $K(G,n)$ es un $K(G,n-1)$ .

Entonces también recordé que el functor de espacios de bucle es un functor de espacios topológicos puntuales y mapas continuos a la categoría de espacios H y homomorfismos continuos. Los espacios H son espacios topológicos que satisfacen los axiomas de un grupo hasta la homotopía (véase Spanier, capítulo 1, sección 5).

Tengo tres preguntas:

1. ¿Existe un criterio útil para saber cuándo un espacio H es realmente un grupo topológico?
2. Viendo que $S^1$ , $S^3$ y $S^7$ son las únicas esferas que soportan estructuras de grupo, no parece casualidad que $S^1$ es un espacio de bucles, porque de hecho es un espacio H. Dado que $CP^{\infty}$ es el espacio de bucle de $K(Z,3)$ también es un espacio H, pero ¿se sabe si es un grupo topológico?
3. Aunque no sea así, ¿hay alguna forma (que no sea la concatenación de bucles) de "ver" esta estructura en $CP^{\infty}$ ?

Gracias.

Answer 1

He aquí una respuesta parcial a la pregunta 1: la condición necesaria y suficiente para que un espacio (suficientemente razonable, digamos un complejo CW) sea equivalente en homotopía a un grupo topológico es que tenga el tipo de homotopía de un espacio de bucles, o, en otras palabras, que admita una estructura de $A_\infty$ -espacio. La necesidad es evidente. Por otra parte, si $X=\Omega Y$ entonces Milnor construye en "La construcción de los haces universales I", sección 3, un grupo $G(Y)$ con el mismo tipo de homotopía que $X$ . La construcción es la siguiente (suponemos que $Y$ para ser un poliedro): tome el subconjunto de la unión disjunta de $Y^n,n\geq 1$ formado por todas las secuencias tales que dos elementos consecutivos cualesquiera están en el mismo simplex y el primer y el último elemento son el punto base, y tomar el cociente de este subconjunto con respecto a la relación de equivalencia generada por $(x_1,\ldots,x,x,\ldots x_n)\sim (x_1,\ldots,x,\ldots,x_n)$ y $(x_1,\ldots,x,y,x,\ldots x_n)\sim (x_1,\ldots,x\ldots,x_n)$ el producto es el producto de concatenación.

He aquí algunas observaciones:

1. Lo anterior es algo (pero no del todo) similar a lo que ocurre cuando se "estriñe" un $A_\infty$ álgebra tomando la construcción cobarde de la construcción de la barra.

2. Un espacio H $X$ puede tener varios productos no homotópicos. Estos son uno a uno con $[X\wedge X,X]$ Véase, por ejemplo, Stasheff, H-spaces from a homotopy point of view, p.11, LNM 161 (que también tiene referencias útiles a trabajos anteriores).

Answer 2

He aquí algunas reflexiones sobre sus preguntas.

1. Ver la respuesta de algori. (Por cierto, el paso "la necesidad es clara" es porque si $G$ es un grupo topológico entonces tiene un espacio clasificatorio y entonces $G \simeq \Omega B G$ por lo que es equivalente en homotopía a un espacio de bucles).

2. Para $CP^\infty$ Aquí hay una construcción que lo convierte en un grupo topológico. Tomemos el grupo unitario sobre un espacio de Hilbert, $U(H)$ . Esto es contraíble por el teorema de Kuiper ( MR0179792 ). El centro de este grupo es el círculo, $S^1$ actuando mediante operadores diagonales. Como esto es normal, el cociente $PU(H) = U(H)/S^1$ es un grupo topológico. Dado que $U(H)$ es contraíble, se trata de un $K(\mathbb{Z},2)$ y por lo tanto "es" $CP^\infty$ .

3. La estructura del grupo en $CP^\infty$ se puede ver de una manera agradable utilizando el hecho de que $CP^\infty$ representa $H^2(-,\mathbb{Z})$ y que $H^2(-,\mathbb{Z})$ clasifica los haces de líneas complejas. Ambos puntos de vista de $[-,CP^\infty]$ tienen estructuras de grupos evidentes: para $H^2(-,\mathbb{Z})$ es la adición, mientras que para los haces de líneas complejas viene dada por el producto tensorial (la operación inversa es la conjugación compleja). (Por cierto, estas dos operaciones de grupo son la misma operación bajo la correspondencia). Como se trata de operaciones naturales, están representadas por una estructura de grupo en el espacio de representación, lo que hace que $CP^\infty$ un objeto de grupo en el $hTop$ . Que esta es la estructura de grupo "correcta" (aka, la que viene de $CP^\infty \simeq K(\mathbb{Z},2) \simeq \Omega K(\mathbb{Z},3)$ ) es más claro a partir de la caracterización de $CP^\infty$ como espacio de representación de $H^2(-,\mathbb{Z})$ . La equivalencia $CP^\infty \simeq \Omega K(\mathbb{Z},3)$ proviene del isomorfismo de la suspensión, $H^2(-,\mathbb{Z}) \cong H^3(\Sigma -, \mathbb{Z})$ que es aditivo y, por tanto, preserva las estructuras de grupo en los espacios de representación.

Answer 3

(Re: 2 y 3)

Desde $\operatorname{Sym}^n\mathbb CP^1=\mathbb CP^n$ ("por las fórmulas de Viète"), $\mathbb CP^\infty$ es el monoide abeliano libre generado por $\mathbb CP^1=S^2$ (con algún punto fijo como unidad). (Esta es exactamente la operación que "representa" el producto tensorial de $U(1)$ -bundles aka adición en $H^2$ en $[-,\mathbb CP^\infty]=\operatorname{Bun}_{U(1)}(-)=H^2(-;\mathbb Z)$ - (ver otras respuestas).

Desgraciadamente, esta operación carece de (sticto) inverso. Pero por el teorema de Dold-Thom $\widetilde{\mathbb Z[S^2]}:=\mathbb Z[S^2]/\mathbb Z[pt]$ (el grupo abeliano libre generado por $S^2$ con algún punto (fijo) como unidad) tiene tipo de homotopía de $K(\mathbb Z,2)$ . Además, el mapa natural $\mathbb CP^\infty=\operatorname{Sym}^\infty(S^2)\to\widetilde{\mathbb Z[S^2]}$ es una equivalencia homotópica.

(Y cualquier $K(G,n)$ puede convertirse en un grupo topológico abeliano de forma análoga: $\widetilde{G[S^n]}$ tiene el tipo de homotopía deseado).

/* Esencialmente x-posted de math.SE */

Answer 4

Creo que es agradable ver a una estructura de grupo que explícitamente es holomorfa. Espero que lo siguiente es correcto:

Tomar el $\mathbb{C}(t)^{\times}/\mathbb{C}^{\times}$. Esto tiene una estructura de grupo. Decir que consideramos el producto de $\sum_{i=a}^{b} x_{i}t^{i}$ y $\sum_{j=c}^{d}y_{j}t^{j}$. Es $\sum_{k=a+c}^{b+d}(\sum_{\{(i,j)|i+j=k\}}x_{i}y_{j})t^{k}$. Esto le da un mapa de $\mathbb{C}\mathbb{P}^{a-b-1}\times \mathbb{C}\mathbb{P}^{c-d-1} \to \mathbb{C}\mathbb{P}^{a+c-b-d-1}$ y el sturcture de grupo $\mathbb{C}\mathbb{P}^{\infty}$ es el límite de estos mapas.