Generadores de $GL(2, \mathbb{F}_3)$

Question

Me encontré con la afirmación de que para$GL(2, \mathbb{F}_3)$, se puede elegir generadores $x$, $y$, $z$, que satisfacen las relaciones $x^4=y^3=z^2=xyz$, $(xyz)^2=1$. Lo matrices puedo tomar para $x$, $y$, $z$?

Answer 1

La afirmación no es verdadera, a pesar de que está cerca. Esto se puede verificar el uso de los pequeños grupos de la biblioteca desde dentro el sistema de álgebra computacional de la BRECHA:

gap> f := FreeGroup( "x", "y", "z" );;
gap> g := f / ParseRelators( GeneratorsOfGroup(f),
> "x^4 = y^3 = z^2 = xyz, (xyz)^2 = 1" );;
gap> IdGroup( g );
[ 48, 28 ]
gap> IdGroup( GL(2,3) );
[ 48, 29 ]
gap> StructureDescription(g/Intersection(DerivedSubgroup(g),Center(g)));
"S4"

Así, el grupo definido por la que la presentación es un grupo de orden 48 que es una doble cubierta de S₄ ≅ PGL(2,3), sino que es el "otro" Schur cubrir, no GL(2,3). Una diferencia importante entre estos grupos es su 2-estructura local. El Sylow 2-subgrupo de GL(2,3) es un cuasi-diedro grupo de la orden de 16, mientras que el Sylow 2-subgrupo del grupo de "otros" es de cuaterniones de orden 16. Esto podría ser más fáciles de ver en el nivel de elemento: GL(2,3) tiene dos diferentes clases conjugacy de involuciones (elementos de orden 2), mientras que el grupo de "otros" tiene una única clase de involuciones (ambos de estos enunciados son verdaderos para sus Sylow 2-subgrupos).

Si desea matrices para este grupo de "otros", podrá utilizar de nuevo la BRECHA:

# In GAP 4.5:
gap> g := SchurCoverOfSymmetricGroup(4,3,1);;
# In GAP 4.4:
gap> g := Group([ [ [ 0*Z(3), Z(3) ], [ Z(3)^0, Z(3^2)^6 ] ],
> [ [ Z(3^2)^2, 0*Z(3) ], [ 0*Z(3), Z(3^2)^6 ] ] ]);;
# In either:
gap> xyz := Filtered( Tuples(g,3),
>  function(xyz)
>    local x,y,z;
>    x:=xyz[1];
>    y:=xyz[2];
>    z:=xyz[3];
>    return x^4 = y^3 and y^3 = z^2 and z^2 = x*y*z and (x*y*z)^2 = x^0
>    and Subgroup( g, xyz ) = g;
>  end );;
gap> orb := Orbits( AutomorphismGroup(g), xyz, OnTuples );;
gap> Size(orb);
1

tan solo hay un set de generación de energía de hasta el isomorfismo. Podemos mostrarlo en la BRECHA:

gap> Display(orb[1][1][1]);
gap> Display(orb[1][1][2]);
gap> Display(orb[1][1][3]);

Pero TeX es un poco mejor:

$$ x = \left(\begin{array}{rr}0&1\\-1&\sqrt{2}\end{array}\right), \quad y = \left(\begin{array}{rr}1&\sqrt{-1}\\\sqrt{-1}&0\end{array}\right), \quad z = \left(\begin{array}{rr}\sqrt{-1}&0\\-1+\sqrt{-2}&-\sqrt{-1}\end{array}\right), \quad $$

donde √2 ≡ −√-1 mod 3 y √-2 ≡ 1 mod 3.

Esto define un subgrupo de GL(2,9) que es isoclinic pero no isomorfo a GL(2,3). La multiplicación de x y z por √-1 da una isomorfo copia de GL(2,3).

Answer 2

Me acaba de comentar que ${\rm GL}(2,3)$ tiene una presentación $\langle x,y,z : x^8 = y^3 = z^2 = (xyz) = [x^4,y ] = 1 \rangle.$ Esta presentación nos da un doble cubierta de $S_4,$ pero que contiene más de una involución, ya que $z \neq x^4.$ Usted puede tomar $z = \left( \begin{array}{crclcr} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array} \right)$ $y = \left( \begin{array}{clcr} 2 & 2\\1 & 0 \end{array} \right) .$