demostrando que $\sup \limits_{x > 0} \frac{x\sin x}{x+1}=1$

Question

Estoy teniendo problemas para demostrar que $$\sup ~ \Big\{ \frac{x\sin x}{x+1} \,:\, x>0 \Big\}=1$$ for my homework assignment. I have managed to prove that there is no $x$ so that $f(x) >1$ but cant seem to manage to prove there is no smaller number then $1$ por que eso es cierto.

Por favor alguien puede ayudarme? Gracias.

Answer 1

Obviamente, cuando se $x>0$ tenemos $|\frac{x}{x+1}\sin x| \leq |\sin x| \leq 1$, por lo tanto, tenemos la desigualdad $\frac{x}{x+1}\sin x \leq 1$.

Ahora, para demostrar que el supremum de hecho es 1, tenemos que encontrar una secuencia $x_n$ de manera tal que la expresión que se evalúa en $x_n$ tiende a $1$. Esto se puede hacer utilizando la secuencia definida en Austin Mohr la respuesta, pero creo que es importante entender por qué esa es la secuencia que usted necesita. cuando se mira la expresión $\frac{x}{x+1}\sin x$ debe tener en cuenta que $\lim_{x \to \infty}\frac{x}{x+1}=1$. El problema es que $\lim_{x \to \infty} \sin x$ no existe. ( De hecho, por cada $\alpha \in [-1,1]$ existe una secuencia $x_n \to \infty$ tal que $\sin x_n \to \alpha$.)

Ahora, desde la $\sin $ es periódica, existe una secuencia $x_n \to \infty$ tal que $\sin x_n=1$, que es exactamente la secuencia seleccionada en la refieren respuesta.

Answer 2

Considerar la secuencia de $(x_n)$ definido por $x_n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Tenemos $$ \begin{align*} \frac{x_n\sin(x_n)}{x_n+1} &= \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n + 1} \end{align*} $$ que puede ser lo más cercano a $1$ como usted por favor, al tomar $n$ lo suficientemente grande.