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Hay una buena relación de recurrencia para $n^n$

Sé que hay una buena ecuación para $n!$, pero hay uno para $n^n$? Yo estaba pensando que podría conseguir con el hecho de $n^n=a^{n\log_an}$ pero me parece que no puede hacer el necesario salto.

Edit: fue sugerido por goblin usar el hecho de que $(n+1)^{n+1} = (n+1)(n+1)^n$ y ampliar con el teorema del binomio. Esto le da a $a_{n+1} = (n+1)\sum_{i=0}^n \binom n {n-i} n^i$

Que todavía es un poco más complicado, a continuación, me gustaría. Me encantaría tener algo de la forma $a_{n+1}=a_nb^{f(n,b)}$ por cada $b$

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ajotatxe Puntos 26274

El uso de la $W$ Lambert (función de la inversa de $x\mapsto xe^x$), se obtiene:

$$a_n=n^n$$ $$\ln a_n=n\ln n=\ln n e^{\ln n}$$ $$W(\ln a_n)=\ln n$$ Por lo tanto $$a_{n+1}=[e^{W(\ln a_n)}+1]^{e^{W(\ln a_n)}+1}$$

Por otro lado, a partir de su ecuación $$(n+1)^{n+1}=n^n\,b^{f(b,n)}$$ tenemos $$f(b,n)=\log_b\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}=\log_b(n+1)+n\log_b\left(1+\frac{1}{n}\right)$$

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