Un conjunto de puntos sobre una esfera

Question

He encontrado este interesante pregunta, y me preguntaba si alguien me podría ayudar.

Sea P el conjunto de los puntos M en la tierra con la propiedad de que si usted va a 7 millas al Norte de M, a 7 millas al Oeste, y, finalmente, 7 millas al Sur, se encuentra de nuevo en el punto de partida M. P un conjunto cerrado? Si no, ¿qué es el cierre de P?

Answer 1

El "obvio" que la solución es el Polo Sur $S$. Si usted viaja a 7 millas al norte de $S$, no importa cómo mucho usted viaje al oeste, usted todavía va a volver a $S$ una vez que usted vaya a 7 millas al sur de nuevo.

Lo que es menos obvio soluciones son los puntos que son más de 7 kilómetros del polo norte, y son tales que después de recorrer 7 kilómetros al norte, usted se acuesta en una latitud tales que la circunferencia de la latitud es igual a $\frac{7}{n}$ km, para un número natural $n$. Si usted viaja a 7 millas al norte (de nuevo, suponiendo que usted puede en todo), y llegar a un punto tal que viajar 7 millas al oeste no tiene ningún efecto final, recibirá de vuelta a donde comenzó después de ir a 7 millas al sur de nuevo.

Como Mariano señala a continuación, no significa nada "viajar 7 millas al norte" si son menos de 7 kilómetros del polo norte, por lo que debemos excluir estos puntos de forma explícita para asegurarse de que la condición se especifica para todos los puntos.

En otras palabras, si $A_n$ es la latitud con la circunferencia de la $\frac{7}{n}$, e $B_n$ es el conjunto de puntos que, después de recorrer 7 kilómetros al norte, se alcanzaría $A_n$, entonces los puntos en $B_n$ son soluciones.

$$P=\{S\}\cup\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n$$

Esto no es un conjunto cerrado; para producir el cierre, tienes que añadir los puntos que son exactamente 7 millas por debajo del Polo Norte, lo que corresponde a una circunferencia de 0, o "$B_\infty$". Es decir, $$\overline{P}=\{S\}\cup\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n\right)\cup B_\infty$$

Aquí es extremadamente no-a-escala de dibujo: