Resolver una ecuación con variables de tipo integer

Question

Estoy tratando de encontrar todos los enteros $(n,m)$ tal que $$2^{2n+1} + 2^n + 1 = m^2$$.

Con un simple programa en python, me parece que $n=0$, $n=4$ son las únicas soluciones menos de $50$. Sin embargo, con la precisión de un número que no se puede obtener resultados precisos al $n > 50$. ¿Alguno tiene una idea que me pueda ayudar a resolver esta ecuación ?

Answer 1

Mediante el siguiente código en MATLAB muestra que además de la $n = 0$$n = 4$, no hay otra solución, al menos hasta $n = 512$ que es cuando MATLAB declara el lado izquierdo de la ecuación a ser infinito. El uso de funciones digits y vpa permiten una mayor precisión de los números. Estos son recursos útiles: Aumentar la Precisión de los Cálculos Numéricos, vpa, dígitos

digits(150);
for n = 0:1:1000
    m = vpa(sqrt(vpa(power(2, 2*n + 1)) + vpa(power(2, n)) + 1));
    if (vpa(m) == vpa(floor(vpa(m))))
        n
        m
    end
end

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $m$ $n$ son no-negativos. Comenzamos por la reorganización de la ecuación para que se lea como sigue: $$ 2^n(2^{n+1}+1)=(m-1)(m+1) $$ Esto implica que $2^{n-1}$ divide exactamente bien $m-1$ o $m+1$. Si es el caso de que $2^{n-1}$ divide exactamente $m-1$, podemos escribir $m-1=k2^{n-1}$ por alguna extraña número natural $k$. Si $k\geq 3$, entonces: $$ (m-1)(m+1)=2^{n-1}(k2^{n-1}+2)=k^22^{2n-2}+k2^n\geq 9\cdot2^{2n-2}+3\cdot 2^{n}> 2^{2n+1}+2^n $$ Esta es una contradicción. Por lo tanto, sabemos que $2^{n-1}$ divide exactamente $m+1$. Escribir $m+1=k2^{n-1}$ por alguna extraña número natural $k$. Si $k\geq 3$, entonces podemos ver lo siguiente: $$ (m-1)(m+1)=(k2^{n-1}-2)k2^{n-1}=k^22^{2n-2}-k2^n\geq 9\cdot 2^{2n-2}-3\cdot 2^n $$ La RHS de esta cadena de desigualdad, $9\cdot 2^{2n-2}-3\cdot 2^n$, es mayor que $2^{2n+1}+2^n$ si $n>4$. Así, aparte de las soluciones de $(m,n)=(2,0)$$(m,n)=(23,4)$, la única posibles soluciones son de la forma $(2^{n-1}\pm 1,n)$, lo que, obviamente, no satisfacen la ecuación de Diophantine.

Por lo tanto, las dos únicas soluciones son las dos que ya se han encontrado en la publicación original del problema.

EDIT: me olvidé de mencionar que usted tiene de manera exhaustiva búsqueda a través de la $n=0$ $n=4$gama para completar la prueba. Oops.

Answer 3

Parece que esto se va a convertir rápidamente en una Pell-como la ecuación de Diophantine.

En primer lugar, observa que el $2^{2n+1}$ puede ser expresado en términos de $2^n$. Debido a esto, considerar la sustitución de $k=2^n$. A continuación, intente manipular la ecuación resultante para darle una Pell-como la ecuación. Una vez hecho esto, el método para resolver el problema restante es estándar. Usted todavía necesita para asegurarse de que la solución termina con $k$ ser una potencia de 2, y confieso que no he trabajado con el problema lo suficiente para ver si esto va a tener una buena caracterización.

EDIT: @WillJagy ha realizado la sustitución y dada la Pell-como la ecuación, pero estoy un poco oxidado y no he encontrado la solución general de la ecuación de Pell todavía. Si tenía que resolver el problema, me gustaría encontrar el recurrente que las identidades que las soluciones deben satisfacer, y demostrar que las $k$ no puede ser una potencia de 2, si es suficientemente grande. Si esto no es manejable, me permitiría encontrar la solución exacta a la recursividad y, a continuación, utilizar algunos Teorema del Binomio travesuras a ver si puedo demostrar que nunca es una potencia de 2.

Answer 4

Supongamos $n > 2$. Tenemos $m^2 -1 = (m-1)(m+1)\equiv 0 \mod 2^n$, por lo que uno de $m-1$ $m+1$ es divisible por $2^{n-1}$ (el otro es divisible por $2$ pero no más poder de $2$). Por simetría $m \to -m$, se puede asumir que es $m-1$. Así $m = 1 + k 2^{n-1}$. Con esta sustitución de la ecuación se convierte en $$ 2^{2n} \left(2 - \frac{k^2}{4}\right) + (1-k) 2^n = 0$$ o $$ 2^{n-2} = \frac{k-1}{8-k^2}$$ Ahora $\gcd(k-1,8-k^2) = \gcd(k-1,8-k) = \gcd(k-1,7)$ es $1$ o $7$. $k-1$ debe ser, por lo $k$ es impar y $8-k^2$ es impar (y sólo puede ser $\pm 1$ o $\pm 7$). Sólo para $k=-3$ do tenemos $(k-1)/(8-k^2) = 4 $ un poder de $2$. Esto corresponde a la solución $n = 4$, $m = 1 - 3 \cdot 2^3 = -23$.