Determina el número de caminos para que una torre llegue desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha de la mesa $3\times 7$ Si la torre sólo puede moverse hacia arriba y hacia la derecha. (Las dos formas son diferentes si la torre se detiene al menos en un lugar que no lo hizo en la primera forma). Mi idea era que la torre tiene que moverse 8 casillas pero no sé cómo continuar. Tal vez hay algo con sobre cuántas maneras un número natural puede ser escrito como una suma de números naturales. EDIT:La torre puede moverse más de 1 casilla en un movimiento
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dada una celda concreta, ¿desde qué lugares se puede llegar a esa celda? Se puede llegar a cada celda en la suma de formas en que se puede llegar a ella desde cada celda.
Es decir: $$X_{0,0} = 1$$ $$X_{j,k}=\sum_{m=0}^{j-1}X_{m,k}+\sum_{n=0}^{k-1}X_{j,n}$$
Usando esto, obtenemos: $$\begin{array}{rrrrrrr} 2 & 5 & 14 & 37 & 94 & 232 & 560 \\ 1 & 2 & 5 & 12 & 28 & 64 & 144 \\ 1 & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 \end{array} $$
Esta matriz es A035002 en la OEIS.
Así que 560 maneras de llegar a la parte superior derecha.
EDITAR: Hay cierta confusión sobre cómo funciona esto, así que aquí están las 14 series de movimientos que te llevan de (0,0) a (2,2):
- 2N 2E
- 1N 1N 2E
- 2N 1E 1E
- 1N 1N 1E 1E
- 1E 2N 1E
- 1E 1N 1N 1E
- 2E 2N
- 2E 1N 1N
- 1E 1E 2N
- 1E 1E 1N 1N
- 1N 2E 1N
- 1N 1E 1E 1N
- 1N 1E 1N 1E
- 1E 1N 1E 1N
CodingBytes
Puntos
102
El camino de las torres es un camino de celosía más corto desde $(0,0)$ a $(6,2)$ . Contiene $6$ horizontal y $2$ segmentos verticales en cualquier orden; así que hay ${8\choose 2}=28$ tales caminos.
Cada camino tiene $r\in\{1,2,3,4\}$ esquinas. En una esquina es obligatoria una parada de la torre, en la $7-r$ resto de puntos intermedios del entramado una parada es voluntaria. De ello se desprende que a una trayectoria que tiene $r$ las esquinas corresponden $2^{7-r}$ diferentes historias.
Hay $2$ caminos haciendo un doble paso vertical en uno de $\{0,6\}$ ; estos tienen $1$ esquina. Hay $5$ caminos haciendo un doble paso vertical en uno de $\{1,2,3,4,5\}$ ; estos tienen $2$ esquinas, y lo mismo ocurre con el camino único que hace dos pasos verticales simples en $0$ y $6$ . Hay $10$ caminos haciendo pasos verticales en uno de $\{0,6\}$ y una de $\{1,2,3,4,5\}$ ; estos tienen $3$ esquinas. Y finalmente hay $10$ caminos haciendo pasos verticales simples en dos de $\{1,2,3,4,5\}$ ; estos tienen $4$ esquinas.
De ello se deduce que hay $$2\cdot 2^6+6\cdot 2^5+10\cdot2^4+10\cdot 2^3=560$$ diferentes historias.
