Una distribución generalizada de la función es un elemento del espacio dual de $$S=\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R})\colon \|f\|_{\alpha,\beta}<\infty \text{ for all } \alpha ,\beta\}$$ Donde $\|f\|_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in \mathbb{R}}|x^{\alpha} f^{(\beta)}(x)|$. Sabemos que todas las medidas de probabilidad son elementos de $S^*$, o más específicamente en el lineal funcional $L_{\mu}\colon S\rightarrow \mathbb{R}$ donde $L_{\mu} (f)=\int_{-\infty}^{\infty}fd\mu$.
En este sentido, una medida de probabilidad es sólo un funcional lineal $L\colon S\cup\{1\}\rightarrow \mathbb{R}$$L(1)=1$.
Mediante la Representación de Riesz Teorema, cualquier funcional lineal (con un par de consideraciones técnicas) tiene una única medida asociado. Así que si $L$ es cualquier distribución en $S\cup \{1\}$ donde $L(1)=1$, es una distribución de probabilidad.
Es esto correcto? Una "distribución de probabilidad" (en el sentido de la Radon-Nikodym derivada de una medida de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue) es realmente sólo una normalizado (o está asociado con un único) normalizado Schwartz distribución?
