Normalmente, los números de Liouville se definen como sigue: $x$ es Liouville si para siempre $i\in\mathbb N$ existe $n,m\in\mathbb Z$ tal que \begin{equation} \left|x-\frac nm\right|<\frac1{m^i}. \end{equation} Sin embargo, en su artículo de 1982 sobre operadores de Schrödinger casi periódicos, Avron y Simon utilizan la siguiente definición: $x$ es Liouville si para siempre $i\in\mathbb N$ existe $n,m\in\mathbb Z$ tal que \begin{equation} \left|x-\frac nm\right|<\frac1{i^m}. \end{equation} ¿Coinciden estos conjuntos de números? En caso afirmativo, ¿cómo se puede demostrar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Parece que se trata de un mal uso de la terminología durante mucho tiempo. La segunda definición no es de un número de Liouville, es mucho más fuerte. El número de Liouville es un número que puede ser aproximado por los racionales a cualquier tasa de potencia. La segunda definición supone que un número puede ser aproximado a cualquier tasa exponencial.
