Suponga $M$ es un Kähler colector. Es holomorphic $p$-forma en $M$ necesariamente una forma armónica?
Respuesta
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Tenga en cuenta que en un Kähler colector hay dos nociones de una forma armónica. El primero es el sentido habitual de la armónica de las formas, que satisfacen $$\Delta \alpha = (dd^\ast + d^\ast d)\alpha = 0.$$ También hay $\bar{\partial}$armónico de formas, que satisfacen $$\Delta_{\bar{\partial}} \alpha = (\bar{\partial}\bar{\partial}^\ast + \bar{\partial}^\ast \bar{\partial})\alpha = 0.$$ A continuación vamos a mostrar que un holomorphic $p$-forma siempre es $\bar{\partial}$-armónica y, a continuación, vamos a mostrar que en un Kähler colector de las nociones de armónicos y $\bar{\partial}$armónico de formas coinciden, de modo que un holomorphic $p$-formulario se armónico en el sentido usual de la palabra así.
Es fácil ver que cualquier $\alpha \in \Omega^{p,0}(M)$ $\bar{\partial}$- armónico. Tal $\alpha$ satisface $\bar{\partial} \alpha = 0$$\bar{\partial}^\ast \alpha = 0$, por lo que $$\Delta_{\bar{\partial}} \alpha = (\bar{\partial} \bar{\partial}^\ast \alpha + \bar{\partial}^\ast \bar{\partial}) \alpha = 0 \text{ for all } \alpha \in \Omega^{p,0}(M).$$
En un complejo colector de $M$, $d = \partial + \bar{\partial}$ y $d^\ast = \partial^\ast + \bar{\partial}^\ast$. Si el complejo colector de Kähler con Kähler forma $\omega$, definir $$L : \Omega^{p, q}(M) \longrightarrow \Omega^{p+1,q+1}(M),$$ $$L(\alpha) = \alpha \wedge \omega$$ y deje $\Lambda = L^\ast$ ser formal adjunto de $L$ con respecto a la Hermitian métrica en $M$. Entonces se puede demostrar la Kähler identidades $$[\Lambda, \bar{\partial}] = -i\partial^\ast \text{ and } [\Lambda, \partial] = i\bar{\partial}^\ast.$$ Ahora vamos a probar el siguiente.
Teorema. En un Kähler colector $M$, $$\Delta = 2\Delta_{\bar{\partial}}.$$
Prueba. Comenzaremos por definir el $\partial$-Laplaciano $$\Delta_\partial = \partial\partial^\ast + \partial^\ast \partial.$$ Luego por la Kähler identidades tenemos que \begin{align} \Delta_\partial & = i(\partial[\Lambda, \bar{\partial}] + [\Lambda, \bar{\partial}]\partial) \\ & = i(\partial \Lambda \bar{\partial} - \partial\bar{\partial}\Lambda + \Lambda\bar{\partial}\partial - \bar{\partial}\Lambda\partial) \\ & = i(\partial\Lambda\bar{\partial} + \bar{\partial}\partial\Lambda -\Lambda\partial\bar{\partial} - \bar{\partial}\Lambda\partial) \\ & = -i(\bar{\partial}[\Lambda, \partial] + [\Lambda, \partial]\bar{\partial}) \\ & = \Delta_{\bar{\partial}}, \end{align}
Además, tenemos que $$\partial \bar{\partial}^\ast + \bar{\partial}^\ast \partial = -i(\partial(\Lambda\partial - \partial\Lambda) + (\Lambda\partial -\partial\Lambda)\partial) = 0$$ y del mismo modo $$\bar{\partial}\partial^\ast + \partial^\ast\bar{\partial} = 0.$$
Por lo tanto \begin{align} \Delta & = dd^\ast + d^\ast d \\ & = (\partial + \bar{\partial})(\partial^\ast + \bar{\partial}^\ast) + (\partial^\ast + \bar{\partial}^\ast)(\partial + \bar{\partial}) \\ & = \partial\bar{\partial}^\ast + \partial\partial^\ast + \bar{\partial}\partial^\ast + \bar{\partial}\bar{\partial}^\ast + \partial^\ast \partial + \partial^\ast \bar{\partial} + \bar{\partial}^\ast \partial + \bar{\partial}^\ast \bar{\partial} \\ & = \Delta_\partial + \Delta_{\bar{\partial}} \\ & = 2\Delta_{\bar{\partial}}. \end{align} Por lo tanto $\Delta = 2\Delta_{\bar{\partial}}$. $\Box$
Por el teorema anterior, es claro que en un Kähler colector, $$\Delta \alpha = 0 \iff \Delta_{\bar{\partial}}\alpha = 0.$$ Puesto que ya hemos determinado que un holomorphic $p$-forma siempre es $\bar{\partial}$-armónico, tenemos que un holomorphic $p$-formulario también está siempre armónico en el sentido habitual (al menos en un Kähler múltiples; por un general de Hermitian colector de las nociones de harmonicity puede ser distinta).
