En lo que algebraicas estructura adición repetida de la igualdad de la multiplicación?

Question

Estoy tratando de averiguar por qué estructura algebraica

$$\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \text{-times}} = a * n$$

es cierto.

Ahora sé que la preguntaEs de todos multiplicación de la suma repetida?' se ha preguntado muchas veces con la respuesta: NO , porque no puede expresar no entero (tales como fracciones o números complejos) múltiplos como una suma repetida. Sin embargo, estoy bastante seguro de que lo contrario también es cierto; que"la suma Repetida es siempre la multiplicación'

Así que mi primer pensamiento fue que los Anillos sería la adecuada estructura algebraica para esto, viendo que tiene tanto la adición y la multiplicación. Sin embargo, la definición de un anillo no hace mención de esta propiedad.

Así que tengo que pensar acerca de esta propiedad y parece que tiene para muchos anillos, incluyendo las siguientes:

• Enteros
• Racionales
• Reales
• Los números complejos
• $m\times m$ Matriz De Anillo
• Polinomios donde la multiplicación es una escala por un número

Pero... Entonces me encontré con el Booleano anillo donde se $\lor$ es la adición en el ring, y $\land$ es la multiplicación. Así que...

$$???\,\,\underbrace{a\lor a\lor\cdots\lor a}_{n \text{-times}} = a \land n \,\,???$$

Ahora el problema es el tipo de la entidad es totalmente diferente (valores verdadero/falso). Esto no tiene sentido; o no? Si esto no es verdad, entonces no estoy seguro de dónde me deja a continuación, ya que implicaría que esta propiedad no se mantiene para los anillos en general. Pero entonces, ¿qué es?

Cualquier visión sería muy apprecitated. :)

Answer 1

Una muy breve descripción de lo que es la verdad aquí es que cuando:

• la multiplicación distribuye sobre la suma
• la adición y la multiplicación son asociativos
• $1$ es la identidad multiplicativa

a continuación, para cada entero positivo $n$, usted tiene

$$ (\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{n \text{ momentos}}) x = \underbrace{x + x + \ldots + x}_{n \text{ momentos}} = x (\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{n \text{ momentos}})$$

Answer 2

La adición repetida es siempre la multiplicación

De suerte! Lo que estamos hablando es de la confluencia de dos cosas:

1. la noción de un poder de un elemento en un grupo;
2. los enteros que actúan sobre un grupo abelian.

En primer lugar, el primer punto dice que para que un elemento $a$ en un grupo de $G$, existe la noción de que el poder de $a$, escrito como "$a^n$" cuando estamos usando la notación multiplicativa para el grupo de operación y escrito como $n a$ cuando se utiliza el aditivo de la notación para el grupo de operación.

En segundo lugar, el primer punto que nos permite pensar en cualquier grupo Abelian como un $\mathbb Z$-módulo, de modo que hay una bilineal multiplicación $\mathbb Z\times M\to M$ satisfacción $1m=m$ todos los $m$, y por lo tanto por bilinearity $m+m=(1+1)m$, etc.

Dado cualquier $R$-módulo de $M$, $\mathbb Z$ acción siempre es capturado por lo $1\in R$ lo hace a los elementos de $M$.

Así que creo que la mejor respuesta a tu pregunta es un grupo abelian (también conocido como un $\mathbb Z$-módulo).

Para cualquier grupo abelian $M$, la adición repetida de $m$ $M$ es el mismo que el de la acción de $n\in \mathbb Z$$m$.

Nos podría aclarar el resaltado de la declaración de los anillos como este:

Para un anillo de $R$ con identidad y unitaria $R$-módulo de $M$, la adición repetida en $M$ es lo mismo que multiplicar por $n1$ donde $1$ es la identidad de $R$.

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No estoy de acuerdo con sus declaraciones sobre el booleano anillos, aunque. $\vee$ $\wedge$ son no el habitual notaciones para las operaciones en un anillo booleano: ellos son los habituales de notaciones para el entramado de la operación de un álgebra de boole, aunque.

Existe un vínculo entre los dos: $a+b=(a\wedge\neg b)\vee (b\wedge\neg a)$$ab=a\wedge b$.

En ese caso $a+a+\ldots+a\in\{0,a\}$, en función de la paridad del número de $a$'s. Esto coincide con la multiplicación por $n$, debido a $n\equiv 0$ o $n\equiv 1$ basado en la paridad de $n$.