Otra pregunta en Hatcher

Question

En primer lugar, pido disculpas por hacer otra pregunta sobre las hipótesis de un problema de Hatcher, pero el enunciado de uno de sus problemas me ha vuelto a dejar perplejo.

El problema es el 1.3.15. Dice lo siguiente:

Dejemos que $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ sea un espacio de cobertura simplemente conectado de $X$ y que $A\subseteq X$ sea un subespacio conectado por un camino, localmente conectado por un camino, con $\widetilde{A}$ un componente de ruta de $p^{-1}(A)$ . Demostrar que $p:\widetilde{A}\rightarrow A$ es el espacio de cobertura correspondiente al núcleo del mapa $\pi _1(A)\rightarrow \pi _1(X)$ .

Mi pregunta es: ¿por qué tenemos que asumir que $A$ ¿está conectada a la trayectoria y localmente a la trayectoria?

He aquí un esbozo de la "prueba" que tengo que no hace uso de estas hipótesis:

Si tenemos un bucle en $\widetilde{A}$ este bucle es nulhomotópico en $\widetilde{X}$ y, por lo tanto, será nulhomotípico cuando se mapee a $X$ a través de $p$ . Por otro lado, si se hace el camino inverso y se mapea primero el bucle en $\widetilde{A}$ hasta $A$ a través de $p$ y luego incluir este bucle en $X$ Por la conmutatividad del diagrama correspondiente que no puedo dibujar aquí, se obtiene el mismo bucle que en la primera forma, que es un bucle nulo. Esto demuestra que $\pi _1[p]\left( \pi _1\left[ \widetilde{A}\right] \right)$ está contenida en el núcleo de la inclusión. En consecuencia, si tenemos un bucle en $A$ que es nulhomotpic en $X$ podemos elevar esto a un bucle en $\widetilde{X}$ y, por lo tanto, podemos elegir una elevación tal que esté contenida en $A'$ . Empujando este ascensor hacia abajo a través de $p$ , muestra que la contención es realmente la igualdad.

¿Alguna idea de dónde se equivoca esta prueba?

Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta de Tom es buena. Añado una segunda, por la razón de que algunos libros de texto no exigen que los mapas de cobertura sean sobreyectivos. (Añadido un día después: efectivamente, Hatcher no lo exige).

La primera observación que me vino a la mente es que si estos espacios no están conectados por trayectorias es malo suprimir notacionalmente la elección del punto base (por ejemplo, escribir $\pi_1(A)$ y no $\pi_1(A, a_0)$ para un número fijo y explícitamente elegido de $a_0 \in A$ ). Esta objeción se aplicaría igualmente a $X$ mismo. Así que pongamos en primer plano los puntos de base para aclarar las cosas.

Creo que $X$ se está asumiendo implícitamente que está conectada a la trayectoria y localmente a la trayectoria (o al menos se asume que algo --- no es sólo un espacio topológico aleatorio), por la razón de que es necesaria alguna hipótesis para saber que $X$ tiene un espacio de cobertura simplemente conectado en primer lugar. No tengo a Hatcher cerca pero creo que la construcción que da para $\widetilde{X}$ tiene hipótesis como esta sobre $X$ .

Hasta ahora, esto es sólo un problema de anotación. Si se asume que los puntos de base se han elegido en el fondo para que todo esté bien definido (como se hace a menudo en situaciones como ésta) sigue existiendo la cuestión de si la hipótesis sobre $A$ es necesario. Con la advertencia de que esto sólo se basa en una lectura casual, no en horas de reflexión, mi sensación es que probablemente la hipótesis sobre $A$ es no necesario, pero que no se gana nada con considerar más generales $A$ .

Permítanme hacer más explícita mi sospecha.

Supongamos que $A$ no está conectado a la ruta. Has elegido algún punto base $a_0$ en $A$ ; deja que $A'$ denotan la componente de la trayectoria de $A$ que contiene $a_0$ . Por hipótesis, hay cosas en $A$ que no está en $A'$ pero nada de esto va a afectar a " $\pi_1(A)$ "(que por supuesto es $\pi_1(A,a_0) = \pi_1(A',a_0)$ ) en absoluto.

Del mismo modo, cuando se considera el componente de la ruta $\widetilde{A}$ de $p^{-1}(A)$ creo que se requiere implícitamente que se elija un componente de ruta de $\widetilde{A}$ que contiene un elemento de $p^{-1} \{a_0\}$ . (Esto se remonta a la definición básica de la correspondencia entre los espacios de cobertura de un espacio $Y$ y subgrupos del grupo fundamental de un espacio $Y$ . Si $f: C \to Y$ es una función cualquiera (en particular si es un mapa de cobertura), hay que elegir puntos de base $y_0 \in Y$ et $c_0 \in C$ con $f(c_0) = y_0$ antes de poder hablar de un homomorfismo $\pi_1(C,c_0) \to \pi_1(Y, y_0)$ inducido por $f$ . Así que para hablar del subgrupo de $\pi_1(A, a_0)$ de $A$ correspondiente a $p: \widetilde{A} \to A$ debemos haber elegido un punto $\tilde{a_0}$ en $\widetilde{A}$ que se asigna a $a_0$ .) Teniendo esto en cuenta, ya que $\widetilde{A}$ está conectado a la ruta y contiene algo en $p^{-1}\{a_0\}$ vemos que $\widetilde{A}$ en realidad tiene que ser un subconjunto de $p^{-1}(A')$ . No puede contener cosas que se proyecten hacia abajo a cosas en $A \setminus A'$ (o podríamos utilizar la conectividad del camino para dibujar un camino en $\widetilde{A}$ de tal cosa a $\tilde{a_0}$ y componer esta ruta con $p$ para obtener una ruta de $a_0$ a algo que no está en $A'$ ).

Así, todos los datos de la declaración acaban dependiendo únicamente del componente $A'$ en el que se elige el punto base, y no en el resto de $A$ . Creo que por eso no es necesario utilizar nunca la hipótesis de forma explícita: todos los bucles de los que se habla cuando se esboza ese argumento (suprimiendo la elección del punto base) sólo tienen lugar en un componente del camino de $A$ (sea cual sea la parte de la que se encuentre su punto base elegido en secreto). Sólo se vuelve misterioso cuando se suprime la elección del punto base. De todos modos, esta es mi suposición sobre lo que está pasando.

Supongo que sólo he explicado por qué la "trayectoria conectada" forma parte de las hipótesis no la parte "localmente conectada". Francamente, nunca recuerdo por qué se añaden cosas así, salvo que se ven por todas partes en las discusiones sobre grupos fundamentales, probablemente porque descarta las patologías. (Revisado en la edición: ver el comentario a la respuesta de Tom. Creo que Hatcher lo utiliza sólo porque simplifica algunas pruebas. Probablemente no es estrictamente necesario, pero si lo dejara de lado en los ejercicios, tendría que dar pruebas más complicadas de los resultados que sí demuestra en el texto).

Answer 2

Si $A$ no está conectada por un camino, entonces un solo componente del camino de $p^{-1}(A)$ ni siquiera se proyecta sobre $A$ por lo que no puede ser un espacio de cobertura de $A$ . Parece que tienes la intuición correcta de por qué la proposición es verdadera, pero tu argumento está utilizando implícitamente las hipótesis.

En lugar de tratar de ver por qué su prueba no funciona (lo que puede ser difícil porque es fácil incorporar implícitamente las hipótesis sin darse cuenta), podría ser más productivo pensar en ejemplos que no satisfagan las hipótesis (como cualquier $A$ que no está conectada por un camino) y ver por qué la afirmación falla en este caso. Después, con este contraejemplo, puedes examinar tu prueba para ver dónde se ha utilizado la hipótesis.

Answer 3

Acabo de encontrarme con esta pregunta. Parece una cuestión en la que el enfoque a través de los morfismos de cobertura de los groupoides, como se explica en las ediciones de 1968, 1988 y 2006 del libro ahora titulado y disponible como "Topología y Groupoides" tiene claras ventajas, ya que un mapa de cobertura de espacios induce una morfismo de cobertura de los groupoides. (Esta noción apareció con un nombre diferente en un artículo de P.A. Smith en los Annals de 1951, y fue utilizada independientemente por Philip Higgins, véase su libro Categorías y groupoides (descargable). Véase también el libro de Peter May "A concise course in algebraic topology", (1999). Se puede generalizar convenientemente a la noción de fibración de los groupoides).

El pullback de un mapa de cobertura por un mapa continuo es también un mapa de cobertura. El pullback de un morfismo de cobertura de los groupoides por un morfismo de los groupoides es también un morfismo de cobertura. Este cuadrado de retroceso puede analizarse en detalle mediante una secuencia del tipo Mayer-Vietoris, que implica a los grupos de objetos y a los componentes. (Este análisis no estaba en la edición de 1968 de T&G).

El libro de Massey "Algebraic Topology: an Introduction" también habla de un pullback de espacios de cobertura, si mi memoria es correcta.

Edit: 15 Feb, 2014 Un artículo sobre la secuencia Mayer-Vietoris, disponible aquí es

[40]. (R. Brown, P.R. HEATH y H. KAMPS), Groupoids and the Mayer-Vietoris sequence'', J. Pure Appl. Alg. 30 (1983) 109-129.