$f(x) = \arctan x | x\in R$ .

Question

$f(x) = \arctan x | x\in R$ . Entonces

1) $f^{(n)}(0) = 0$ para todos los enteros positivos n.

2)la secuencia ${f^{(n)} (0)}$ no tiene límites.

¿Son correctas?

¿Cómo se puede calcular la derivada de más de tres grados?

Answer 1

$$\begin{align} \frac{d^n}{dx^n}\arctan(x) &=\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{1}{1+x^2}\\ &=\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(2k)(2k-1)\cdots(2k-(n-2))x^{2k-(n-1)}\\ \end{align}$$

En $x=0$ el único término que es distinto de cero es el $k=(n-1)/2$ que sólo está presente cuando $n$ es impar. Así que incluso para $n$ , $f^{(n)}(0)=0$ . Y para impar $n$ , $$f^{(n)}(0)=(-1)^{(n-1)/2}[2(n-1)/2][2(n-1)/2-1]\cdots[2(n-1)/2-(n-2)]$$ $$f^{(n)}(0)=(-1)^{(n-1)/2}(n-1)(n-2)\cdots(1)=(-1)^{(n-1)/2}(n-1)!$$ que no tiene límites.