Campo básico: mostrar $a \cdot b = 0 \iff a = 0 \vee b = 0$.

Question

Hace poco estuve revisando un viejo examen y he notado que he perdido las marcas para las siguientes P/r: no puedo por la vida de averiguar por qué este era el caso. Si alguien podría poner de relieve lo que hice mal y sugerir una corrección, que sería muy apreciada.

Pregunta:

Demostrar $a \cdot b = 0 \iff a = 0 \vee b = 0$ donde $a$ $b$ son los elementos de un campo de $F$.

Respuesta:

En primer lugar mostramos $a = 0 \vee b = 0 \Longrightarrow a \cdot b = 0$.

Deje $x \in F$ ser arbitraria. Entonces $$0 \cdot x = 0 \cdot x + 0$$ Pero $x \in F$, de modo que existe un inverso aditivo $(-x)$$x$. Por lo tanto $$0 \cdot x + 0 = 0 \cdot x + (x + (-x))$$ El uso de la asociatividad de la suma y la distributividad de la multiplicación sobre la adición en $F$ hemos $$0 \cdot x + (x + (-x)) = (0 \cdot x + x) + (-x) = x \cdot (0 + 1) + (-x)$$ Así $$0 \cdot x = x \cdot 1 + (-x) = 0$$ Debido a $x$ fue arbitraria, podemos concluir que $0$ multiplicado por cualquier elemento de $F$$0$. Dado que el $a = 0 \vee b = 0$, se deduce que el $a \cdot b = 0$.

A continuación se muestra $a \cdot b = 0 \Longrightarrow a = 0 \vee b = 0$. Si asumimos el contrario, tenemos $$a \cdot b = 0 \wedge (a \ne 0 \wedge b \ne 0)$$ Sabemos que existe un inverso multiplicativo $a^{-1}$$a$, por lo que $$a^{-1} \cdot a \cdot b = a^{-1} \cdot 0$$ Pero (recordando que la asociatividad tiene) esto se reduce a $1 \cdot b = 0$, lo cual es una contradicción. De ahí se sigue que $$a \cdot b = 0 \iff a = 0 \vee b = 0$$

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, la primera parte puede ser más corto: $$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x,$$ y, a continuación, la adición de $-0\cdot x$ a ambos lados obtenemos $0=0\cdot x$.

En la última parte, la única cosa que me gustaría comentar es que, cuando ha $a\cdot b=0$, el razonamiento habitual es como este: "si $a=0$, que se hacen; de lo contrario, considere la posibilidad de $a^{1-}$..."

La objeción podría ser que si $a=0$ usted no puede hacer su razonamiento con $a^{-1}$ (tienes que hacerlo con $b^{-1}$).