Demostrar que si $p \mid a_1a_2 \ldots a_n$ entonces $p \mid a_j$ para algunos $j$ con $1 \le j \le n$

Question

Sea $p$ sea un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sean números enteros. Demostrar que si $p \mid a_1a_2 \ldots a_n$ entonces $p \mid a_j$ para algunos $j$ con $1 \leq j \leq n$ .

La pista era utilizar la inducción.

Así, para el caso base ( $n = 1$ ):

$p \mid a_1$ implicaría $p \mid a_j$ para algunos $j$ con $1 \leq j \leq 1$ Así que $j$ tendría que ser igual a 1, lo que diría que $p \mid a_1$ que se asumió para que el caso base se mantuviera.

Para el paso de inducción:

Supongo que si $p \mid a_1a_2 \ldots a_k$ entonces es cierto que $p \mid a_j$ para algunos $j$ con $1 \leq j \leq k$ y tendría que demostrar que $p \mid a_1a_2 \ldots a_k \cdot a_{k + 1}$ implica que $p \mid a_j$ para algunos $j$ con $1 \leq j \leq k + 1$ .

Aquí es donde me atasco, creo que sólo hay que comprobar el caso en el que $j = k + 1$ porque si $j$ fue $a_1$ a través de $a_k$ ¿se mantendría la condición inicial? Pero no estoy seguro.

Answer 1

El caso base es cuando $n=2$ y se llama lema de Euclides.

Para ver cómo se puede demostrar el resultado vía inducción lo haremos sobre $n$ (El número de factores).

Supongamos que lo ha demostrado para $n$ factores y desea probarlo para $n+1$ . Debemos demostrar que si $p|a_1a_2\dots a_{n+1}$ entonces $p$ divide uno de los $a_j$ 's. Obsérvese que $p|(a_1a_2\dots a_{n})a_{n+1}$ por lo que en el caso base $p|a_1a_2\dots a_{n}$ o $p|a_{n+1}$ .

Si $p|a_{n+1}$ hemos terminado, en cambio si $p|a_1a_2\dots a_{n}$ entonces por el paso inductivo $p|a_j$ para algunos $1\leq j\leq n$ así que también hemos terminado.