Dado el problema de valor límite inicial $$ u_t −u_{xx} = 2, \ \ \ \ \ \ x ∈ [−1,1], t ≥ 0,$$ Con condiciones iniciales y de contorno $$u(x,0) = 0$$ $$ u(−1, t) = u(1, t)=0$$ Reclamación: la solución, $u(x,t)$ es tal que $$ u(x, t) ≤ −x^2 + 1$$ para todos $x ∈ [−1,1], \ \ t ≥ 0$ . Mi idea: se trata, por supuesto, de la ecuación del calor y se me pide que demuestre que la solución no puede superar una determinada función, a saber $-x^2+1$ (que resuelve la ecuación del calor), ya que la solución debe "difundirse" en el tiempo. Estaba pensando que el principio mínimo debería estar involucrado aquí, pero no estoy muy seguro de cómo mostrar la afirmación. Gracias por la ayuda.
Respuesta
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La solución consta de dos partes: la solución estacionaria $-x^2+1$ más la parte transitoria, que es simplemente la solución de la ecuación de calor homogénea con las mismas condiciones de contorno. Esta solución se puede encontrar fácilmente en forma explícita (ten en cuenta que la condición inicial cambiará). Hazlo y demuestra que la solución transitoria es siempre menor que 0.
