Combinatoria: $N$ bolas de $R$ diferentes colores en $R$ papeleras

Question

Otra de las bolas y los recipientes problema, pero no pude encontrar uno como este después de navegar un rato.

Decir que he a $N$ bolas de $R$ diferentes colores (N/R bolas de cada color) y tengo que ponerlas en $R$ diferentes contenedores, de modo que cada contenedor tiene un número igual de balón (lo $N$ es divisible por $R$). De cuántas maneras existen para distribuir las bolas?

edit: Suponga que el $N > R$ , por ejemplo, si queremos poner a $36$ bolas de $4$ diferentes colores (9 bolas de cada color) en $4$ contenedores, de manera que cada bin siempre ha $9$ bolas, ¿cuántas maneras hay de hacerlo?

Answer 1

Tenemos $M=N/R$ bolas de cada color, de $R$ colores. Suponiendo que todas las bolas de los mismos colores no son distinguibles, pero que los contenedores que son, cada arreglo es especificado por los enteros no negativos $t_{i,j}=$ "los números de las bolas de color $i$ en reciclaje $j$", con las restricciones $\sum_i t_{i,j} = M$ ($M$ bolas en cada bin) y $\sum_j t_{i,j} = M$ ($M$ bolas de cada color).

Es decir, tenemos que contar el número de $R \times R$ matrices (con entero no negativo entradas: "tablas de contingencia") con todas las filas y columnas de sumatoria de $M$. Esta bien estudiado el problema, y lejos de ser trivial. Formas cerradas son conocidos por pequeño $R$. Véase, por ejemplo:

http://arxiv.org/pdf/math/0703600v2.pdf

http://arxiv.org/pdf/math/9806076v1.pdf (sección 6)

http://ftp.cs.umanitoba.ca/~vanrees/enumeración.pdf