Si $f\in L^2[0,1]^2$, tenemos $\int_0^1|f(x,x)|dx<\infty$?

Question

Deje $f\in L^2[0,1]^2$. De lo anterior se sigue que el $$\int_0^1|f(x,x)|dx<\infty\,?$$

Por el Cauchy-Schwarz desigualdad, $$\int_0^1|f(x,x)|dx\leq \left(\int_0^1|f(x,x)|^2dx\right)^{1/2} = \left(\int_0^1\int_0^1|f(x,x)|^2dxdy\right)^{1/2}.$$

Así que tengo que cambiar las variables de alguna manera.

Answer 1

No, el valor de $\int_0^1 |f(x,x)|\,dx$ no está aún bien definido para $f \in L^2([0,1]^2)$.

Recordemos que los elementos de $L^2([0,1]^2)$ son estrictamente hablando no de las funciones de $[0,1]^2$; son clases de equivalencia de funciones, mod igualdad en casi todas partes. Como Bungo el comentario dice, si dejas $D = \{(x,x) : x \in [0,1]\}$ ser la diagonal de la plaza, a continuación, $D$ tiene medida de Lebesgue cero. Por lo tanto las funciones $f_1 = 0$ $f_2 = 1_D$ representan el mismo elemento de $L^2([0,1]^2)$, pero tienen diferentes valores de $\int_0^1 |f(x,x)|\,dx$. Nosotros podríamos elegir a sus representantes para que la integral en la diagonal era infinito, o inexistente.