Resolver la ecuación de $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{2x-1}+x=4$

Question

Encontrar $x\in R$ satisfacer $$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{2x-1}+x=4$$

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La raíz de la ecuación muy mal

Mi pruebe 1:

Deje $\sqrt[3]{x+2}=a;\sqrt[3]{2x-1}=b\Rightarrow a^3-b^3=3-x$

Tiene: $a+b=4-x$

=>La raíz de un sistema de ecuaciones mal, muy

Mi prueba con 2:

El uso de la calidad de la $\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}=\frac{a\pm b}{\sqrt[3]{a^2}\mp \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$ :

$\sqrt[3]{x+2}-ax+\sqrt[3]{2x-1}-bx=4-x$

Necesita encontrar $ax$, $bx$ pero es muy malo, demasiado

Answer 1

para resolver esta ecuación uso $$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$ $$(\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{2x-1}=4-x)^3\\x+2+2x-1+3\sqrt[3]{x+2}.\sqrt[3]{2x-1}(\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{2x-1})=(4-x)^3$$ put $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{2x-1}=4-x \\$ para $$3x+1+3\sqrt[3]{x+2}.\sqrt[3]{2x-1}(\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{2x-1})=(4-x)^3\\ 3x+1+3\sqrt[3]{x+2}.\sqrt[3]{2x-1}(4-x)=(4-x)^3\\3\sqrt[3]{x+2}.\sqrt[3]{2x-1}(4-x)=(4-x)^3-3x-1\\ 27(x+2)(2x-1)(4-x)^3=((4-x)^3-3x-1)^3$$ ahora usted debe ir a la potencia de 3 y solucionar $ax^9+....=0$ grado=9
pero será polinomio .

si a solucionar los eqaution numéricos o método gráfico ,que tiene una raíz $x=1.325$ (sólo root )

está usted seguro de que se escriba la ecuación correcta ?

***¿por qué hay una raíz real ? si usted toma $f(x)=\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{2x-1}+x-4 $, por lo que $$f'(x)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}+\dfrac{2}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2}}+1 >0$$ so f(x) is strictly increasing $\ $ por lo $$f(x)=0$$ tiene sólo una raíz , se puede comprobar por $$f(1)<0 ,f(1.5)>0 \to x_0 \in (1,1.5)$$ así que usted puede ir sobre

split $(1,1.5) \to (1,1.25) ,(1.25,1.5)$ $$f(1)f(1.25)>0 \\f(1.25)f(1.5)<0 \to x_0 \in (1.25,1.5)$$ y apoderarse de

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario.) Sobre la base de este...

Deje $\,\sqrt[3]{x+2}=a\,;\;\sqrt[3]{2x-1}=b$

La forma canónica para obtener la ecuación polinómica en $x$ es eliminar a $a,b$ entre:

$$ \begin{cases} \begin{align} a^3 &= x+2 \\ b^3 &= 2x-1 \\ a+b +x &= 4 \end{align} \end{casos} $$

This is a routine calculation using polynomial resultants, though generally not pretty to do by hand. In this case resultant[ resultant[ a+b+x-4, b^3-2x+1, b ], a^3-x-2, a ] gives $x$ as the root of:

$$ x^9 - 36 x^8 + 585 x^7 - 5589 x^6 + 34317 x^5 - 139563 x^4 + 374328 x^3 - 635553 x^2 + 615033 x - 253503 = 0 $$

Numerically, $x \;\;\simeq\;\; 1.3254785\dots$