Cómo resolver esto de primaria de inducción de la prueba: $\frac{1}{1^2}+ \cdots+\frac{1}{n^2}\le\ 2-\frac{1}{n}$?

Question

Este es un aparentemente simple inducción pregunta que me tiene confundido acerca de que tal vez mi comprensión de cómo aplicar la inducción

la cuestión;

$$\frac{1}{1^2}+ \cdots+\frac{1}{n^2}\ \le\ 2-\frac{1}{n},\ \forall\ n \ge1.$$

esto es cierto para $n=1$, por lo que asume la expresión es verdadera para $n\le k$. que produce la expresión,

$$\frac{1}{1^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} \le\ 2-\frac{1}{k}.$$ now to show the expression is true for $k+1$,

$$\frac{1}{1^2}+\cdots+ \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} \le\ 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}.$$

esta parte me preocupan, porque después de algunos mathemagical algebraica de masaje, yo debería ser capaz de equiparar,

$$2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}=2-\frac{1}{(k+1)},$$

cual sería la expresión es verdadera para $k+1$ y me gustaría hacer. a la derecha? pero estos dos no son equivalentes, incluso para $k=1$, debido a la fijación de $k=1$ usted termina con $\frac{5}{4}=\frac{3}{2}$, así que en algún lugar yo soy el deslizamiento y no estoy seguro de qué otra manera para mostrar esto, si alguien tiene alguna información sobre esta inducción que no estoy recibiendo. gracias.

Answer 1

Lo que realmente necesita es $2 − \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 − \frac{1}{(k+1)}$,

Answer 2

A pesar del hecho de que tal solución se da en otros posts (por ejemplo, en esta pregunta acerca de similar serie infinita: la Prueba de que $\sum_1^{\infty} \frac{1}{n^2} <2$ es utilizado como un auxiliar resultado en algunas de las respuestas) podría ser útil hablar de la solución usando telescópica suma en la pregunta acerca de la suma finita.

Veamos la suma de partida con $k=2$: $$\sum\limits_{k=2}^n \frac1{k^2} \le \sum\limits_{k=2}^n \frac1{k(k-1)}.$$ Después de reescribir esto como $\frac1{k(k-1)}=\frac1{k-1}-\frac1k$podemos ver que en el lado derecho obtenemos una suma telescópica, donde muchos de los términos se anulan: $$\sum_{k=2}^n \left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=(1-\frac12)+\left(\frac12-\frac13\right)+\dots+\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)=1-\frac1n$$ (Empezamos con $k=2$, de modo que nosotros no obtener cero en el denominador de las expresiones $\frac1{k-1}$$\frac1{k(k-1)}$.)