Siento el título tan general y algo inexacto, pero no sé cómo formular esta pregunta de forma súper breve.
En la clase de cálculo de hace unos años, se hizo esta pregunta:
Elija tres números positivos $x, y,$ y $z$ para que $x + y + z = 99$ para que $x \dot{} y \dot{} z$ es lo más grande posible.
Se suponía que debíamos combinar las ecuaciones y tomar la derivada para encontrar el máximo, pero inmediatamente hice la suposición de que, como ambas ecuaciones involucradas trataban $x, y,$ y $z$ exactamente igual, todos tendrían el mismo valor en la solución.
Así que dije que $x, y,$ y $z$ eran todos de 33 años, y quién lo iba a decir, esa respuesta era correcta. Mi profesor, por supuesto, dijo que ese truco no funcionaría en todos los problemas de optimización, pero me ha resultado útil para algunos otros problemas.
Durante un tiempo, pensé que podía suponer que todas las variables tendrían el mismo valor en cualquier problema en el que todas fueran tratadas por igual, pero hace poco pensé: "¿Y si la pregunta me hubiera pedido minimizar $x \dot{} y \dot{} z$ en lugar de maximizarlo? Entonces en la solución, una de las variables tendría que ser cero, y habría infinitas posibilidades para las otras dos, ninguna de las cuales resultaría en $x, y,$ y $z$ siendo todo igual, por lo que debe haber algún otro factor implicado en que este truco funcione o no.
¿Existe algún tipo de prueba en la que pueda mirar un problema en el que las variables se traten igual en cada ecuación y decir si se asume que los valores serán todos iguales en la solución o no?
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En las triviales?
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Si las restricciones y la función a optimizar son simétricas con respecto a las permutaciones de las variables, entonces el conjunto de soluciones también será simétrico con respecto a estas permutaciones de las variables. La diferencia es que en el primer ejemplo, el conjunto de soluciones estaba formado por un solo punto $(A, B, C)$ por lo que para que esto sea invariable bajo todas las permutaciones, debemos tener $A = B = C$ . Pero su conjunto solución puede consistir en más de un punto, y entonces la acción del grupo de permutación sobre el conjunto solución no necesariamente fijará todos los puntos.
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Pregunta anterior relevante: math.stackexchange.com/questions/581849/ así como un artículo relevante mencionado allí "¿Los problemas simétricos tienen soluciones simétricas?" maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/