4 votos

¿En qué circunstancias es aceptable suponer que todas las variables serán iguales en los problemas de optimización?

Siento el título tan general y algo inexacto, pero no sé cómo formular esta pregunta de forma súper breve.

En la clase de cálculo de hace unos años, se hizo esta pregunta:

Elija tres números positivos $x, y,$ y $z$ para que $x + y + z = 99$ para que $x \dot{} y \dot{} z$ es lo más grande posible.

Se suponía que debíamos combinar las ecuaciones y tomar la derivada para encontrar el máximo, pero inmediatamente hice la suposición de que, como ambas ecuaciones involucradas trataban $x, y,$ y $z$ exactamente igual, todos tendrían el mismo valor en la solución.

Así que dije que $x, y,$ y $z$ eran todos de 33 años, y quién lo iba a decir, esa respuesta era correcta. Mi profesor, por supuesto, dijo que ese truco no funcionaría en todos los problemas de optimización, pero me ha resultado útil para algunos otros problemas.

Durante un tiempo, pensé que podía suponer que todas las variables tendrían el mismo valor en cualquier problema en el que todas fueran tratadas por igual, pero hace poco pensé: "¿Y si la pregunta me hubiera pedido minimizar $x \dot{} y \dot{} z$ en lugar de maximizarlo? Entonces en la solución, una de las variables tendría que ser cero, y habría infinitas posibilidades para las otras dos, ninguna de las cuales resultaría en $x, y,$ y $z$ siendo todo igual, por lo que debe haber algún otro factor implicado en que este truco funcione o no.

¿Existe algún tipo de prueba en la que pueda mirar un problema en el que las variables se traten igual en cada ecuación y decir si se asume que los valores serán todos iguales en la solución o no?

0 votos

En las triviales?

0 votos

Si las restricciones y la función a optimizar son simétricas con respecto a las permutaciones de las variables, entonces el conjunto de soluciones también será simétrico con respecto a estas permutaciones de las variables. La diferencia es que en el primer ejemplo, el conjunto de soluciones estaba formado por un solo punto $(A, B, C)$ por lo que para que esto sea invariable bajo todas las permutaciones, debemos tener $A = B = C$ . Pero su conjunto solución puede consistir en más de un punto, y entonces la acción del grupo de permutación sobre el conjunto solución no necesariamente fijará todos los puntos.

0 votos

Pregunta anterior relevante: math.stackexchange.com/questions/581849/ así como un artículo relevante mencionado allí "¿Los problemas simétricos tienen soluciones simétricas?" maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/

4voto

Tob Ernack Puntos 58

Si las restricciones y la función a optimizar son simétricas con respecto a un grupo de permutaciones de las variables, entonces el conjunto de soluciones también será simétrico con respecto a este grupo.

En su primer ejemplo, el conjunto de soluciones consistía en un solo punto $(x, y, z)$ por lo que para que esto sea invariable bajo todas las permutaciones, debemos tener $x = y = z$ . Pero su conjunto solución puede consistir en más de un punto, y entonces la acción del grupo de permutación sobre el conjunto solución no necesariamente fijará todos los puntos.

Cuando intentas minimizar $xyz$ bajo las restricciones dadas, el conjunto de soluciones es $\{(0, t, 99 - t): 0 \lt t \lt 99\} \cup \{(t, 0, 99 - t): 0 \lt t \lt 99\} \cup \{(t, 99 - t, 0): 0 \lt t \lt 99\}$ .

Tenemos una acción de $S_3$ (el grupo de permutaciones de $3$ elementos) en las coordenadas de los puntos, producidos por la permutación de estas coordenadas.

Por ejemplo, la permutación $(12)$ que envía $1$ a $2$ , $2$ a $1$ y $3$ a sí mismo actuará sobre un punto de la forma $(0, t, 99 - t)$ para dar el punto $(t, 0, 99 - t)$ . Obsérvese que este punto también está contenido en el conjunto de soluciones. De hecho, $S_3$ es básicamente permutar los subconjuntos en la unión anterior. Puedes intentar el mismo ejercicio con diferentes permutaciones, y encontrar que la acción de cada permutación en $S_3$ en cada punto de solución da otro punto de solución.

Por lo tanto, el conjunto de soluciones se fija bajo la acción de $S_3$ pero los puntos mismos pueden no serlo necesariamente (porque $(0, t, 99 - t) = (t, 0, 99 - t)$ sólo si $t = 0$ ).

Así que, finalmente, para responder a tu pregunta, no siempre podemos decir que los puntos que maximizan o minimizan una función dada bajo ciertas restricciones que son todas simétricas en $x, y, z$ tendrán sus coordenadas iguales. Pero si usted sabe, por ejemplo, que su conjunto de soluciones debe consistir en un solo punto, entonces puede, porque un punto $(x, y, z)$ es invariable bajo permutaciones de las coordenadas sólo si $(x, y, z) = (y, z, x) = (z, x, y)$ y por lo tanto $x = y = z$ .

Si su conjunto de soluciones está formado por más de $1$ punto, entonces tendrá que encontrar simetrías adicionales en el problema (que no sean permutaciones de las variables), o información adicional sobre el conjunto de soluciones, para poder concluir más.


[Vago aparte para el interés general,

Esta idea de que las simetrías en las ecuaciones provocan simetrías en las soluciones se utiliza en muchos lugares como el álgebra y la física (véase el teorema de Noether en física, por ejemplo)

En la teoría de grupos, existe una noción de acción de grupo que generaliza las observaciones anteriores. También existe una noción de estabilizador de un conjunto (o de un elemento), que es un subgrupo que fija el conjunto (o elemento) bajo la acción del grupo.

No sé si has tenido estos antecedentes, pero lo comento por si te puede interesar].

1voto

Stephan Aßmus Puntos 16

Elija tres números positivos $x, y,$ y $z$ para que $x + y + z = 99$ para que $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ es lo más grande posible.

0voto

Wen Puntos 197

Nunca (sin razón).

En ningún caso asuma sin razón que todas las variables deben ser iguales. Esto se debe a que, bueno, no hay ninguna razón para que todas tengan que ser iguales. Por ejemplo, considere La desigualdad de Schur con condiciones de igualdad no simétricas. Por supuesto, como señaló Tob Ernack, si no todas las tres (o tantas) variables son iguales entonces hay múltiples soluciones de igualdad.

Algunas razones por las que se puede suponer que son iguales (a efectos de intentar probar que la igualdad se produce cuando todos son iguales, no como una prueba en sí) son cuando:

  • Has utilizado algún tipo de herramienta gráfica para confirmar la maximalidad
  • ^En lugar de graficar, has probado varios casos de prueba y parece cierto
  • Es parece plausible (es decir, usted ha probado AM-GM y casi obras)

Sin embargo, estas razones nunca pueden servir de prueba. Para demostrar que la igualdad se produce si son iguales:

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X